Question

10．如圖，豎直平面內(nèi)固定一半徑為R，口徑很小的$\frac{3}{4}$圓形管道，管道的左半邊內(nèi)側(cè)粗糙，其余部分光滑．與A管口緊挨放一個(gè)固定有輕彈簧的固定光滑斜面，彈簧自由伸長(zhǎng)時(shí)上端與A管口齊平．一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A端正上方某處自由下落進(jìn)入圓形管道，且經(jīng)過(guò)管道最低點(diǎn)B處時(shí)小球?qū)�管壁的壓力大小為其重力�?倍，小球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，從管口C水平飛出后恰好沿斜面方向壓縮彈簧，當(dāng)彈簧被壓縮最短時(shí)其形變量為x，求：
（1）小球在經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度大�。�
（2）這一過(guò)程中摩擦力對(duì)小球做的功W_f．
（3）彈簧所獲得的最大彈性勢(shì)能Ep．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球在B點(diǎn)的受力情況，由牛頓第二定律求小球在經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度大�。�
（2）小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出C點(diǎn)的速度，再對(duì)B到C的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求摩擦力對(duì)小球做的功W_f．
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出斜面傾角的正弦值，再由機(jī)械能守恒定律求彈簧所獲得的最大彈性勢(shì)能Ep．

解答 解：（1）在最低點(diǎn)B處，對(duì)小球由牛頓第二定律：
$9mg-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
解得 v_B=2$\sqrt{2gR}$
（2）小球從C口作平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
${v_c}=\frac{R}{t}=\frac{{\sqrt{2gR}}}{2}$
B到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
${W_f}-mg•2R=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
解得摩擦力對(duì)小球做的功為：
W_f=-$\frac{7}{4}$mgR
（3）小球平拋達(dá)斜面時(shí)豎直分速度為：
${v_y}=\sqrt{2gR}$
速度方向與水平方向夾角為θ，也等于斜面傾角，有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{C}}$=2
所以得：sin θ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
由機(jī)械能守恒得：${E_p}=mg（R+xsinθ）+\frac{1}{2}mv_C^2=mg（\frac{5}{4}R+\frac{{\sqrt{5}}}{5}x）$
答：（1）小球在經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度大小是2$\sqrt{2gR}$．
（2）這一過(guò)程中摩擦力對(duì)小球做的功W_f是-$\frac{7}{4}$mgR．
（3）彈簧所獲得的最大彈性勢(shì)能Ep是mg（$\frac{5}{4}$R+$\frac{\sqrt{5}}{5}$x）．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，要正確分析物理過(guò)程，把握過(guò)程的物理規(guī)律，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理等規(guī)律即可正確解題．