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9.如果質點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比,并且總是指向平衡位置,即F=-kx,其中k是由系統(tǒng)本身特性決定的線性回復力常數(shù),那么質點的運動就是簡諧運動.
(1)圖1所示為一理想單擺,擺球的質量為m,擺長為L.重力加速度為g.請通過計算說明該單擺做簡諧運動的線性回復力常數(shù)k=?
(2)單擺做簡諧運動的過程中,由于偏角很小,因此可以認為擺球沿水平直線運動.
如圖2所示,質量為m的擺球在回復力F=-kx作用下沿水平的x軸做簡諧運動,若振幅為A,在平衡位置O點的速度為vm,試證明:12mvm2=12kA2
(3)如圖3所示,兩個相同的理想單擺均懸掛在P點.將B球向左拉開很小的一段距離由靜止釋放,B球沿水平的x軸運動,在平衡位置O點與靜止的C球發(fā)生對心碰撞,碰撞后B、C粘在一起向右運動.已知擺球的質量為m,擺長為L.釋放B球時的位置到O點的距離為d.重力加速度為g.求B、C碰撞后它們沿x軸正方向運動的最大距離.

分析 (1)對小球受力分析,則可得出回復力的大小,由回復力公式可求得回復力常數(shù);
(2)分析外力做功情況,由動能定理即可證明;
(3)由動量守恒求得碰后的速度,再由動能定理可求得最大距離.

解答 解:(1)如圖所示,以平衡位置O點為坐標原點,沿水平方向建立x軸.

設當偏角為θ時,位移為x.
重力垂直繩方向的分力提供回復力
F=mgsinθ
當θ很小時  sinθ=xL
可得  F=mgLx
所以  k=mgL
(2)單擺做簡諧運動的過程中,只有線性回復力做功.
擺球從最大位移處運動到平衡位置的過程中,由動能定理
W=12mvm2-0
其中 W=KA2A=12kA2
所以12mvm2=12kA2
(3)B球向O點運動的過程中  12kd2=12mv12
B、C碰撞過程中動量守恒  mv1=2mv2
B、C從O點向右運動的過程中 122mv22=12kd2
其中k′=2k
可得d′=8479pit2  
答:(1)該單擺做簡諧運動的線性回復力常數(shù)k為mgL;
(2)證明如上;
(3)最大距離為\fracadqjys72

點評 本題結合單擺考查了動量守恒定律及動能定理,要注意正確分析題意,明確物理規(guī)律的應用.

練習冊系列答案
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sl/cms2/cms3/cms4/cm
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③小球在位置A的速度vA=0.87m/s.

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