Question

10．如圖所示，水平傳送帶的左端與一傾角θ=37°的粗糙斜面平滑連接，一個小滑塊（可視為質點）從斜面上的A點由靜止釋放，沿斜面滑下并沖上傳送帶，傳送帶以恒定速率v=2m/s逆時針轉動．已知小滑塊的質量m=2kg，斜面上A點到斜面底端的長度s=9m，傳送帶的長度為L=10m，小滑塊與斜面的動摩擦因數(shù)μ₁=0.50，小滑塊與傳送帶間動摩擦因數(shù)μ₂=0.40，g=10m/s²．求：
（1）小滑塊到達斜面底端P的速度大小；
（2）a．判斷沖上傳送帶的小滑塊是否可以運動到傳送帶的右端Q；
b．若小滑塊可以運動到Q，試求小滑塊從P點運動到Q點的過程中摩擦力分別對小滑塊和傳送帶做的功；若小滑塊不能達到Q，試求小滑塊從P點開始再次運動到P點過程中摩擦力分別對小滑塊和傳送帶做的功；
（3）小滑塊在斜面和傳送帶上運動的整個過程中，小滑塊相對于地面的總路程．

Answer 1

分析 （1）對滑塊下滑過程應用動能定理可以求出滑塊到達P端的速度．
（2）滑塊滑上水平傳送帶后向右做勻減速直線運動，如果滑塊速度減為零時的位移大于等于傳送帶的長度，則滑塊可以到達QQ端，否則不能達到Q端；分析清楚滑塊的運動過程，應用功的計算公式可以求出功．
（3）分析清楚滑塊的運動過程判斷滑塊的最終位置，然后應用能量守恒定律求出滑塊的路程．

解答 解：（1）滑塊下滑過程，由動能定理得：
mgssinθ-μ₁mgcosθ•s=$\frac{1}{2}$mv_P²-0，
代入數(shù)據(jù)解得：v_P=6m/s；
（2）a、滑塊到達傳送帶上后做勻減速直線運動，在滑塊速度減為零過程中，由動能定理得：
-μ₂mgs′=0-$\frac{1}{2}$mv_P²，
代入數(shù)據(jù)解得：s′=4.5m＜L=10m，滑塊不能到達Q端；
b、滑塊在傳送帶上運動時的加速度為：a=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=4m/s²，
滑塊向右減速運動的時間為：t₁=$\frac{{v}_{P}}{a}$=$\frac{6}{4}$=1.5s，
在此時間內，傳送帶位移為：x₁=vt₁=2×1.5=3m，
滑塊向右加速運動到速度等于傳送帶速度需要的時間為：t₂=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{4}$=0.5s，
在此時間內傳送帶的位移為：x₂=vt₂=2×0.5=1m，
在整個過程中，摩擦力對傳送帶做功為：W_傳送帶=-μ₂mg（x₁+x₂）=-32J，
由動能定理可知，整個過程摩擦力對滑塊做功為：W_滑塊=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_P²=-32J；
（3）滑塊在運動過程中要考查摩擦力做功，使其機械能減少，最終滑塊將靜止在P處，有：
μ₁cosθ=μ₂=μ=0.4，
設滑塊在整個過程中相對水平地面的路程為s_總，對滑塊由動能定理得：
mgssinθ=μmgs_總，
代入數(shù)據(jù)解得：s_總=13.5m；
答：（1）小滑塊到達斜面底端P的速度大小為6m/s；
（2）a、小滑塊不能運動到傳送帶的右端Q；
b、小滑塊從P點開始再次運動到P點過程中摩擦力對小滑塊做功為-32J，摩擦力對傳送帶做的功為-32J；
（3）小滑塊在斜面和傳送帶上運動的整個過程中，小滑塊相對于地面的總路程是13.5m．

點評 本題考查了動能定理的應用，分析清楚滑塊的運動過程是解題的關鍵，應用動能定理可以解題．分析滑塊運動過程時要注意：滑塊在傳送帶上向左先做勻加速運動，后做勻速直線運動；解題時要注意，（3）求的是滑塊相對地面的路程．