Question

11．據(jù)每日郵報(bào)2014年4月18日報(bào)道，美國國家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．假如宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測：該行星自轉(zhuǎn)周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t．已知該行星半徑為R，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{πR}{T}$
• B． 宇宙飛船繞該星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
• C． 該行星的平均密度為$\frac{3h}{2Gπ{t}^{2}}$
• D． 如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度為$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力討論即可．

解答 解：根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求得星球表面的重力加速度$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$
A、星球的第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h}{{t}^{2}}R}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得衛(wèi)星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，可知軌道半徑越小周期越小，衛(wèi)星的最小半徑為R，則周期最小值為${T}_{min}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{g{R}^{2}}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{\frac{2h}{{t}^{2}}}}$=$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故B正確；
C、由$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{2h}{{t}^{2}}$有：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，所以星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3h}{2G{t}^{2}Rπ}$，故C錯(cuò)誤；
D、同步衛(wèi)星的周期與星球自轉(zhuǎn)周期相同故有：$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是通過自由落體運(yùn)動(dòng)求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬有引力等于重力求解．