Question

5．如圖，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一檔板固定在地上，B不能左右運動，在環(huán)的最低點靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m．給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)運動，為保證小球不脫離圓軌道，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起，（不計小球與環(huán)的摩擦阻力），則小球C在最低點的瞬時速度的范圍可能是（　　）

• A． 0≤v≤$\sqrt{2gr}$
• B． $\sqrt{2gr}$≤v≤$\sqrt{5gr}$
• C． $\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{7gr}$
• D． $\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{8gr}$

Answer 1

分析 小球不脫離圓軌道，可能在圓軌道圓心下方運動，也可能做完整的圓周運動．小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做完整的圓周運動時，通過最高點速度最小時，軌道對球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點的最小速度；為了不會使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點對軌道的彈力不能大于2mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的最大速度，再根據(jù)機械能守恒定律求出小球在最低點的速度范圍．

解答 解：小球不脫離圓軌道，可能小球在圓軌道圓心下方運動，最高點與圓心等高，由機械能守恒定律得 mgr=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得 v=$\sqrt{2gr}$
所以小球C在最低點的瞬時速度的范圍可能是0≤v≤$\sqrt{2gr}$．
小球不脫離圓軌道，也可能做完整的圓周運動．在最高點，速度最小時有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，解得v₁=$\sqrt{gr}$．
根據(jù)機械能守恒定律，有：2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv₁′²，解得v₁′=$\sqrt{5gr}$．
不會使環(huán)在豎直方向上跳起時，在最高點，速度最大時有：mg+2mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，解得v₂=$\sqrt{3gr}$．
根據(jù)機械能守恒定律有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²，解得v₂′=$\sqrt{7gr}$．
所以保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起，在最低點的速度范圍為：$\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{7gr}$．
故選：AC

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點的兩個臨界情況，求出在最高點的最大速度和最小速度，要注意本題有兩種情況，不能漏解．