Question

13．汽車甲在傾角為θ的斜坡上運(yùn)行，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)在斜坡底端水平路面上距斜坡底端B點100m處停放著一輛汽車乙，汽車甲立即關(guān)閉油門，通過速度計記錄下汽車甲的速度隨時間變化規(guī)律如表，設(shè)汽車在斜坡和水平路面上受到的阻力均為汽車對地面壓力的k倍，已知重力加速度g=10m/s²，求：
（1）斜面的傾角（可用三角函數(shù)表示）；
（2）汽車甲在關(guān)閉油門后3.5s末的速度；
（3）通過計算說明汽車甲會不會與汽車乙相撞，若不相撞，求汽車甲停止點距汽車乙的距離，若相撞，汽車乙在汽車甲關(guān)閉油門后3s末以多大加速度啟動才能避免與汽車甲相撞？

時刻	0	0.5	1.0	1.5	…	4.5	5.0	5.5	6.0	…
速度（m/s）	20	21.8	23.6	25.4	…	26.3	24.8	23.3	21.6	…

Answer 1

分析 （1）由表格中的數(shù)據(jù)判斷出加速階段的加速度和減速階段的加速度，然后由牛頓第二定律求出k的大小以及斜面的傾角；
（2）求出甲的運(yùn)動分成加速階段與減速階段兩段，加速階段的末速度等于減速階段的初速度，結(jié)合速度的關(guān)系與速度時間公式即可求出；
（3）根據(jù)勻減速 運(yùn)動的情況，分析甲在水平方向的位移，然后與B的位置比較即可．

解答 解：（1）半個記錄了關(guān)閉油門后汽車的速度變化，速開始時的加速度：
${a}_{1}=\frac{△{v}_{1}}{△{t}_{1}}=\frac{23.6-20}{1.0}=3.6m/{s}^{2}$
汽車在水平面上的加速度：${a}_{2}=\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}=\frac{21.6-24.8}{6.0-5.0}=-3.2m/{s}^{2}$
由牛頓第二定律得：ma₂=-kmg
所以：$k=\frac{{a}_{2}}{g}=\frac{3.2}{10}=0.32$
在斜面上：mgsinθ-kmgcosθ=ma₁
sin²θ+cos²θ=1
聯(lián)立得：cosθ=0.790
所以：θ=arccos0.790
（2）設(shè)經(jīng)過時間t汽車到達(dá)斜面的底端，則：20+a₁t+a₂（6.0-t）=21.6
代入數(shù)據(jù)得：t=3.0s
汽車到達(dá)坡底的速度為：v_m=20+3.6×3.0=30.8m/s
需要再經(jīng)過：t′=3.5-3.0=0.5s
速度大小：v_3.5=v_m+a₂t′=20+3.6×3.0=29.2m/s
（3）甲車在水平面上的最大位移：${x}_{m}=\frac{0-{v}_{m}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{30．{8}^{2}}{2×3.2}=148.225$m
由于在汽車甲關(guān)閉油門后3s末恰好到達(dá)斜面的底端，甲開始減速，而乙開始加速，設(shè)經(jīng)過時間t₀恰好不相碰，則：
${v}_{m}{t}_{0}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{0}{t}_{0}^{2}=100$；v_m+a₂t₀=a₀t₀
聯(lián)立得：${a}_{0}=1.54m/{s}^{2}$
答：（1）斜面的傾角是arccos0.790；
（2）汽車甲在關(guān)閉油門后3.5s末的速度是29.2m/s；
（3）通過計算方向汽車甲會與汽車乙相撞；若相撞，汽車乙在汽車甲關(guān)閉油門后3s末以1.54m/s²的加速度啟動才能避免與汽車甲相撞．

點評 該題考查勻變速直線運(yùn)動的位移公式與速度公式的應(yīng)用，同時涉及追擊問題，解決本題的關(guān)鍵知道兩車恰好不相撞的臨界情況，結(jié)合速度公式和位移公式靈活求解，難度中等．