Question

13．如圖，在y軸的左邊區(qū)域內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，在射線OP的右下方和第四象限內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場．一帶電粒子自電場中的M點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向射出，恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后垂直于y軸從N點(diǎn)回到電場區(qū)域，并恰能返回M點(diǎn)．已知M點(diǎn)坐標(biāo)為（-L，$\frac{\sqrt{3}}{2}$L），帶電粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子重力．求：
（1）粒子從電場進(jìn)入磁場時(shí)的速度；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．
（3）粒子從M點(diǎn)出發(fā)經(jīng)電場和磁場作用后返回到M點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出粒子的速度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子的軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）求出粒子在電場與磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出粒子從M點(diǎn)出發(fā)再回到M點(diǎn)的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子從M到O點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：L=v₀t  豎直方向：$\frac{\sqrt{3}}{2}$L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，$\frac{\sqrt{3}}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²，
解得：v_y=$\sqrt{3}$v₀，a=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{L}$  ①，
粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，解得：v=2v₀，
速度v與水平方向夾角為：θ，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，則θ=60°；
（2）粒子再次進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：L=vt′，y_NM=$\frac{1}{2}$at′²，解得：y_NM=$\frac{\sqrt{3}}{8}$L，
則：ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L+$\frac{\sqrt{3}}{8}$L=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$L，
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
由幾何知識(shí)可得：r+rcos60°=ON，解得：r=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$L，
洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{8\sqrt{3}m{v}_{0}}{5qL}$；
（3）粒子從M到O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
從N到M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₃=$\frac{L}{v}$=$\frac{L}{2{v}_{0}}$，
粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角α=240°，
粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{240°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5\sqrt{3}πL}{18{v}_{0}}$，
粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（27+5\sqrt{3}π）L}{18{v}_{0}}$；
答：（1）粒子從電場進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為2v₀，方向與x正方向成60°角斜向右下方；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{8\sqrt{3}m{v}_{0}}{5qL}$．
（3）粒子從M點(diǎn)出發(fā)經(jīng)電場和磁場作用后返回到M點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{（27+5\sqrt{3}π）L}{18{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清粒子整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的方法，作出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．