Question

16．如圖所示，水平地面上有一固定的長方形絕緣光滑水平臺(tái)面其中OPQX，其中PQ邊長L₁=5m；QX邊長L₂=4m，平臺(tái)高h(yuǎn)=3.2m．平行板電容器的極板CD間距d=1m，且垂直放置于臺(tái)面，C板位于邊界0P上，D板與邊界OX相交處有一小孔．電容器外的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．質(zhì)量m=1×10^-10kg電荷量q=1×10^-10c的帶正電微粒靜止于0處，在CD間加上電壓U，C板電勢(shì)高于D板，板間電 場(chǎng)可看成是勻強(qiáng)電場(chǎng)，板間微粒經(jīng)電場(chǎng)加速后由D板所開小孔進(jìn)入磁場(chǎng)（微粒始終不與極 板接觸），假定微粒在真空中運(yùn)動(dòng)，微粒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中電量保持不變，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6
（1）若微粒正好從QX的中點(diǎn)離開平臺(tái)，求其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）電壓大小可調(diào)，不同加速電壓，微粒離開平臺(tái)的位置將不同，要求微粒由PQ邊界離開臺(tái)面，求加速電壓UV的范圍；
（3）若加速電壓U=3.125v 在微粒離開臺(tái)面時(shí)，位于Q正下方光滑水平地面上A點(diǎn)的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時(shí)恰好與滑塊相遇，滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，求滑塊開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的俯視圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中的半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率．
（2）作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界軌跡圖，結(jié)合半徑公式求出速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出電壓的范圍．
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子的速度，從而結(jié)合半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，通過幾何關(guān)系和數(shù)學(xué)的余弦定理求出滑塊開始的初速度．

解答 解：（1）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)俯視圖如圖所示，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，由幾何關(guān)系得：
${{R}_{1}}^{2}=（{R}_{1}-\frac{{L}_{2}}{2}）^{2}+（{L}_{1}-d）^{2}$，
解得：R₁=5m，
根據(jù)牛頓第二定律得：$qB{v}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：${R}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=5m/s．
（2）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)俯視示意圖，臨界軌跡如圖所示．
微�？梢詮腝點(diǎn)離開平臺(tái)如線Ⅰ，R₂=4m，
在磁場(chǎng)中，有：${R}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=4m/s．
在電場(chǎng)中，有：$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：U₁=8V，
微粒軌跡與PQ邊界相切如線Ⅱ，R₃=2m，
在磁場(chǎng)中，有：${R}_{3}=\frac{m{v}_{3}}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₃=2m/s，
在電場(chǎng)中，$q{U}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$，代入數(shù)據(jù)解得：U₃=2V．
則從PQ邊界離開范圍為：U₂＜U≤U₃，即：2V＜U≤8V．
（3）電場(chǎng)中：$q{U}_{3}=\frac{1}{2}m{{v}_{4}}^{2}$，代入數(shù)據(jù)解得：v₄=2.5m/s，
${R}_{4}=\frac{m{v}_{4}}{qB}$，代
入數(shù)據(jù)解得：R₄=2.5m，
設(shè)離開點(diǎn)N與M的距離為x，由幾何關(guān)系得：
${{R}_{4}}^{2}={x}^{2}+（{L}_{2}-{R}_{4}）^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：x=2m．
$sinθ=\frac{x}{{R}_{4}}$，
解得：θ=53°．
微粒在空中運(yùn)動(dòng)，豎直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，t=0.8s，
水平方向上勻速運(yùn)動(dòng)，與物塊在Z點(diǎn)相遇，設(shè)物塊的位移為S，根據(jù)余弦定理：
S=$\sqrt{（{v}_{4}t）^{2}+{\overline{NQ}}^{2}-2{v}_{4}\overline{NQ}cos（180°-α）}$=$\sqrt{12.8}m$，
${v}_{0}=\frac{S}{t}=2\sqrt{5}m/s$．
設(shè)速度方向與PQ的夾角為α，
vtcosα=2+v₄tcos53°，vtsinα=v₄tsin53°，
聯(lián)立解得：$tanα=\frac{1}{2}$，
解得：$α=arctan\frac{1}{2}$．
答：（1）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率為5m/s；
（2）加速電壓的范圍為2V＜U≤8V．
（3）滑塊開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度為$2\sqrt{5}m/s$，初速度的方向與PQ的夾角為$arctan\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考察的數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用．三角函數(shù)的應(yīng)用在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，盡管它只是起到運(yùn)算作用，但是如果忘記了三角函數(shù)公式是無法進(jìn)行下去的，自然得不到正確的結(jié)果．由于是物理試題，三角函數(shù)過程在解答過程可以不體現(xiàn)、只在草稿紙上畫．
此方面的問題具體要做到以下兩點(diǎn)：
（1）能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論．
（2）必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析．