Question

10．牛頓認(rèn)為公式中的引力常數(shù)G是普適常數(shù)，不受物體的形狀、大小、地點(diǎn)和溫度等因素影響，引力常數(shù)的準(zhǔn)確測(cè)定對(duì)驗(yàn)證萬(wàn)有引力定律將提供直接的證據(jù)．英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許（H．Cavendish 1731-1810）根據(jù)牛頓提出的直接測(cè)量?jī)蓚�(gè)物體間的引力的想法，采用扭秤法第一個(gè)準(zhǔn)確地測(cè)定了引力常數(shù)．扭秤的主要部分是一個(gè)輕而堅(jiān)固的T形架，倒掛在一根金屬絲的下端．T形架水平部分的兩端各裝一個(gè)質(zhì)量是m₁的小球，T形架的豎直部分裝一面小平面鏡M，它能把射來(lái)的光線反射到刻度尺上，這樣就能比較精確地測(cè)量金屬絲地扭轉(zhuǎn)．實(shí)驗(yàn)時(shí)，把兩個(gè)質(zhì)量都是m₂地大球放在如圖所示的位置，它們跟小球的距離相等．由于m₁受到m₂的吸引，T形架受到力矩作用而轉(zhuǎn)動(dòng)，使金屬絲發(fā)生扭轉(zhuǎn)，產(chǎn)生相反的扭轉(zhuǎn)力矩，阻礙T形架轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)這兩個(gè)力矩平衡時(shí)，T形架停下來(lái)不動(dòng)．這時(shí)金屬絲扭轉(zhuǎn)的角度可以從小鏡M反射的光點(diǎn)在刻度尺上移動(dòng)的距離求出，再根據(jù)金屬絲的扭轉(zhuǎn)力矩跟扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，就可以算出這時(shí)的扭轉(zhuǎn)力矩，進(jìn)而求得m₁與m₂的引力F．
（1）若已知小球的質(zhì)量m₁=1kg，大球質(zhì)量m₂=2kg，兩球心間的距離l=20cm，請(qǐng)據(jù)引力常量G的標(biāo)準(zhǔn)值求出兩球間萬(wàn)有引力F的大小．（保留三位有效數(shù)字）
（2）卡文迪許把自己的實(shí)驗(yàn)說(shuō)成是“稱量地球的質(zhì)量”，若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上的物體所受重力等于地球?qū)ξ矬w的引力，請(qǐng)用地球表面的重力加速度g、地球的半徑R和引力常量G，推導(dǎo)表示出地球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用萬(wàn)有引力定律：F=$\frac{G{m}_{2}{m}_{1}}{{l}^{2}}$ 直接計(jì)算求解；
（2）地球上的物體受到的重力等于地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力，由萬(wàn)有引力公式列方程，可以求出地球質(zhì)量．

解答 解：（1）由萬(wàn)有引力定律：F=$\frac{G{m}_{2}{m}_{1}}{{l}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)，則有：F=$\frac{6.67×1{0}^{-11}×2×1}{0．{2}^{2}}$N=3.34×10^-9N，
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M，地球上的物體質(zhì)量為m，
重力等于萬(wàn)有引力，即G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg，
則地球質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
答：（1）兩個(gè)人之間的引力是3.34×10^-9N；
（2）地球的質(zhì)量$\frac{g{R}^{2}}{G}$．

點(diǎn)評(píng) 此題只需要應(yīng)用萬(wàn)有引力定律進(jìn)行計(jì)算，萬(wàn)有引力等于重力，由萬(wàn)有引力公式可以求出地球質(zhì)量．