Question

3．如圖1所示，有一半徑為R=0.30m的光滑半圓形細(xì)管AB，將其固定在豎直墻面并使B端切線水平，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為0.50kg的小物體m由細(xì)管上端沿A點(diǎn)切線方向進(jìn)入細(xì)管，從B點(diǎn)以速度v₀=4.0m/s飛出后，恰好能從一傾角為0=37°的傾斜傳送帶頂端C無碰撞地滑上傳送帶．已知傳送帶度為L=2.75m（圖中只畫出了傳送帶的部分示意圖），物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.50（取sin37°=0.60，cos37°=0.80，g取10m/s²，不計(jì)空氣阻力，不考慮半圓形管AB的內(nèi)徑）．
（1）求物體在A點(diǎn)時(shí)的速度大小及對(duì)軌道的壓力大小與方向；
（2）若傳送帶以v₁=2.5m/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求物體從C到底端的過程中，由于摩擦而產(chǎn)生的熱量Q；
（3）若傳送帶逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)且速度為v₂，物體到達(dá)底端時(shí)動(dòng)能為E_kD，請(qǐng)?jiān)趫D2的坐標(biāo)系中畫出E_kD隨v₂變化的關(guān)系圖線．要求在坐標(biāo)軸上標(biāo)出圖線關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值．（不要求寫出計(jì)算過程，只按畫出的圖線評(píng)分）

Answer 1

分析 （1）研究物體從A運(yùn)動(dòng)到B的過程，由機(jī)械能守恒定律求物體在A點(diǎn)時(shí)的速度．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解物體對(duì)軌道的壓力．
（2）若傳送帶以v₁=2.5m/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，物體沿傳送帶勻加速下滑，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出傳送帶的位移，得到物體與傳送帶的相對(duì)位移，即可求得摩擦生熱．
（3）根據(jù)傳送帶的速度大小，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，由動(dòng)能定理求出物體到達(dá)底端時(shí)的動(dòng)能，再畫出圖象．

解答 解：（1）對(duì)于AB段，由機(jī)械能守恒定律得：
2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
可得：v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$=$\sqrt{{4}^{2}-4×10×0.3}$=2m/s
在A點(diǎn)，設(shè)軌道對(duì)物體的彈力方向方向向下，大小為N，則由牛頓第二定律得：
mg+N=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：N=$\frac{5}{3}$N
由牛頓第三定律得，物體對(duì)軌道的壓力大小為$\frac{5}{3}$N，方向豎直向上．
（2）若傳送帶以v₁=2.5m/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，物體在傳送帶上下滑的加速度為：
a=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=g（sin37°-μcos37°）=2m/s²．
物體到達(dá)C點(diǎn)的速度為：v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos37°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
設(shè)物體從C點(diǎn)滑到傳送帶底端的時(shí)間為t，則有：
L=v_Ct+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=0.5s（另一值不合理舍去）
物體從C到傳送帶底端的過程中，物體與傳送帶的相對(duì)位移為：△x=L+v₁t=2.75+2.5×0.5=4m
故由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為：Q=μmgcos37°△x=0.5×5×0.8×4J=8J
（3）若傳送帶逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，
當(dāng)0＜v₂≤5m/s，由于mgsin37°＞μmgcos37°，物體一直勻加速下滑，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgLsin37°-μmgcos37°L=E_KD-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，得E_KD=9J．
當(dāng)V₂＞5m/s物體一直勻加速運(yùn)動(dòng)，恰好到斜面底端時(shí)物體與傳送帶速度相同時(shí)，加速度為：
a′$\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=10m/s²，
由 ${v}_{2}^{2}$-${v}_{B}^{2}$=2aL得：v₂=4$\sqrt{5}$m/s．
則當(dāng)5m/s＜v₂＜4$\sqrt{5}$m/s時(shí)，物體先以a=10 m/s²勻加速，與傳送帶速度相同后，再以
 a=gsin37°-μgcos37°=2 m/s²勻加速運(yùn)動(dòng)到D端，則 ${v}_{D}^{2}$=${v}_{2}^{2}$++2a（L-$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{B}^{2}}{2a′}$）=$\frac{4}{5}$${v}_{2}^{2}$+16
則 E_KD=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{5}{v}_{2}^{2}$+4  （J）
當(dāng)v₂≥4$\sqrt{5}$m/s，E_KD=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=20J，傳送帶速度再增大，物體的動(dòng)能不變．故E_KB隨v₂變化的關(guān)系圖線如圖．
答：（1）物體在A點(diǎn)時(shí)的速度大小是5m/s，物體對(duì)軌道的壓力大小為$\frac{5}{3}$N，方向豎直向上．
（2）物體從C到底端的過程中，由于摩擦而產(chǎn)生的熱量Q是8J．
（3）圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題分析物體的運(yùn)動(dòng)過程是關(guān)鍵，要注意分析物體在傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)速度何時(shí)與傳送帶相同，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律結(jié)合進(jìn)行研究．