Question

6．相距很近的平行板電容器AB，A、B兩板中心各開有一個(gè)小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續(xù)均勻地發(fā)射出電子，電子的初速度為v₀，質(zhì)量為m，電量為e，在AB兩板之間加上如圖乙所示的交變電壓，其中U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$；緊靠B板的偏轉(zhuǎn)電場的電壓也等于U₀，上極板恒帶正電，板長為L，兩板間距為d，偏轉(zhuǎn)電場的中軸線（虛線）過A、B兩板中心，距偏轉(zhuǎn)極板右端$\frac{L}{2}$處垂直中軸線放置很大的熒光屏PQ．不計(jì)電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間忽略不計(jì)．求：

（1）在0-$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)和$\frac{T}{2}$-T時(shí)間內(nèi)，由B板飛出的電子的速度各為多大；
（2）在0-T時(shí)間內(nèi)熒光屏上有兩個(gè)位置會(huì)發(fā)光，試求這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果采用L、d表示）；
（3）以偏轉(zhuǎn)電場的中軸線為對(duì)稱軸，只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足什么要求．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)由動(dòng)能定理可以求出電子的速度；
（2）在偏轉(zhuǎn)電場中，電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到偏轉(zhuǎn)距離，然后求出兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離；
（3）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時(shí)，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，由上題結(jié)果求出極板間距應(yīng)滿足什么要求．

解答 解：（1）電子經(jīng)過電容器內(nèi)的加速電場后，設(shè)0-$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，穿出B板后速度為ν₁，
由動(dòng)能定理得：-eU₀=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2}{3}}$v₀；
在$\frac{T}{2}$-T 時(shí)間內(nèi)射出B板電子的速度ν₂，據(jù)動(dòng)能定理有：
eU₀=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₂=$\sqrt{\frac{4}{3}}$v₀；
（2）電子以v₁的速度在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋，電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{L}{{v}_{1}}$，
側(cè)移量：y₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$t₁²，
出極板時(shí)的末速度方向與水平方向夾角θ₁，有：tanθ₁=$\frac{a{t}_{1}}{{v}_{1}}$=$\frac{\frac{e{U}_{0}}{md}{t}_{1}}{{v}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}′}{\frac{L}{2}}$，
以v₂的速度在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋，電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{L}{{v}_{2}}$，
側(cè)移量：y₂=$\frac{1}{2}$at₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$t₂²，
出極板時(shí)的末速度方向與水平方向夾角θ₂，有：tanθ₂=$\frac{a{t}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{\frac{e{U}_{0}}{md}{t}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}′}{\frac{L}{2}}$，
兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離：△y=（y₁+y₁′）-（y₂+y₂′），解得：△y=$\frac{{L}^{2}}{8d}$；
（3）只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，則減小板間距讓一種速度的電子打在板上，設(shè)新的板間距為H，
則當(dāng)速度v₁的電子打在極板上時(shí)：$\frac{H}{2}$=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{mH}$$（\frac{L}{{v}_{1}}）^{2}$，解得：H=$\frac{L}{2}$；
當(dāng)速度v₂的電子打在極板上時(shí)：H=$\frac{L}{2\sqrt{2}}$，
所以間距應(yīng)滿足的條件是：$\frac{L}{2\sqrt{2}}$＜H＜$\frac{L}{2}$；
答：（1）在0-$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)和$\frac{T}{2}$-T時(shí)間內(nèi)，由B板飛出的電子的速度分別為：$\sqrt{\frac{2}{3}}$v₀、$\sqrt{\frac{4}{3}}$v₀．
（2）在0-T時(shí)間內(nèi)熒光屏上有兩個(gè)位置會(huì)發(fā)光，這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離為$\frac{{L}^{2}}{8d}$．
（3）要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足的要求是：$\frac{L}{2\sqrt{2}}$＜H＜$\frac{L}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電子在電場中的運(yùn)動(dòng)，電子在加速電場中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，利用帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的類平拋運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)知識(shí)列方程進(jìn)行解答，關(guān)鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．