Question

2．用一根細繩使其一端固定，另一端系一個質(zhì)量為m的球，使該球在豎直的平面內(nèi)做圓周運動．試求小球通過最低點和最高點時細繩張力的差（T₁-T₂）．

Answer 1

分析 小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，最高點和最低點時由合力提供圓周運動的向心力，再根據(jù)從最高點到最低點時滿足機械能守恒求解最高點和最低點時的速度關(guān)系．

解答 解：設(shè)在最低點時速度為v₁，最高點時速度為v₂，圓周運動半徑為R，
根據(jù)圓運動的規(guī)律有：
在最低點：${T_1}-mg=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$
得 ${T_1}=m\frac{{{v_1}^2}}{R}+mg$    ①
在最高點：${T_2}+mg=m\frac{{{v_2}^2}}{R}$
得${T_2}=m\frac{{{v_2}^2}}{R}-mg$   ②
由①式減去②式得：${T_1}-{T_2}=\frac{{m{v_1}^2-m{v_2}^2}}{R}+2mg$  ③
選最低點為勢能零點，對小球列方程：$\frac{1}{2}mv_2^2+2mgR=\frac{1}{2}mv_1^2$
得 $m{{v}_{1}}^{2}-m{{v}_{2}}^{2}$=4mgR   ④
將④式代入③式，得T₁-T₂=6mg
即：小球運動到最低點和最高點時，繩上張力的差恰為6mg．

點評 在豎直平面內(nèi)做圓周運動，不計空氣阻力知，小球所受合力提供向心力和機械能守恒（或動能定理）．