Question

18．如圖，半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧曲面固定在水平地面上，圓弧底端P處的切線水平．與圓弧底端等高的、足夠長的木板A左端緊靠圓弧放在水平地面上．可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊B靜止放在距A左端為R的木板上；與B完全相同的C由圓弧頂端無初速度釋放，沿圓弧滑下通過P后，沖上A并能與B相碰，B、C碰后粘在一起不再分開并一起向右運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度大小為C與B碰前的一半．
已知：A、B、C的質(zhì)量均為m；重力加速度為g；C通過P時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為2.5mg；B、C與A的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{1}{4}$，A與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{1}{8}$．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．求：
（1）C從圓弧頂端滑到P的過程中，摩擦力做的功．
（2）為使B、C不從A右端掉下來，A的長度至少要多長．
（3）A停下后，左端與P的水平距離

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向心力公式求出C到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度，再由動(dòng)能定理求出C從圓弧頂端滑到P的過程中，摩擦力做的功
（2）C與B相碰前A靜止，C在A上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，BC碰撞后成一個(gè)整體，碰撞過程遵循動(dòng)量守恒，BC做勻加速運(yùn)動(dòng)，A做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度相等，求出相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移，木板的長度等于BC相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移和初始時(shí)B距木板左端的距離；
（3）C與B碰撞到ABC速度相等，根據(jù)動(dòng)能定理求出A的位移${s}_{A1}^{\;}$，當(dāng)共速直到停止的過程，根據(jù)動(dòng)能定理求出A的位移${s}_{A2}^{\;}$，即可求出左端到P的水平距離；

解答 解：（1）以C為研究對(duì)象，設(shè)C到達(dá)P時(shí)速度為v、支持力為N，
由牛頓第二定律：$N-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$①
動(dòng)能定理：$mgR-{W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$②
依題意：N=2.5mg③
解得：${W}_{f}^{\;}=\frac{1}{4}mgR$④
（2）C沖上A后，
C受到的摩擦力大小為：${f}_{C}^{\;}={μ}_{1}^{\;}mg=\frac{1}{4}mg$⑤
A受地面的摩擦力大小為：${f}_{A}^{\;}={μ}_{2}^{\;}•3mg=\frac{3}{8}mg$⑥
由于${f}_{A}^{\;}＞{f}_{C}^{\;}$，所以A沒有滑動(dòng)，C在A上做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)與B相碰前的速度為v_C，
動(dòng)能定理：$-{μ}_{1}^{\;}mgR=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$⑦
${v}_{C}^{\;}=\sqrt{Rg}$⑧
B、C碰撞動(dòng)量守恒$m{v}_{C}^{\;}=2m{v}_{BC}^{\;}$
B、C碰后的速度為：${v}_{BC}^{\;}=\frac{1}{2}\sqrt{Rg}$⑨
碰后B、C這個(gè)整體受到的摩擦力大小為：${f}_{BC}^{\;}={μ}_{1}^{\;}•2mg=\frac{1}{2}mg$⑩
由于${f}_{BC}^{\;}＞{f}_{A}^{\;}$，所以A開始沿地面運(yùn)動(dòng)．A做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，BC做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)共同速度為${v}_{ABC}^{\;}$，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律知：
對(duì)BC：$-{f}_{BC}^{\;}=2m{a}_{BC}^{\;}$⑪
對(duì)A：${f}_{BC}^{\;}-{f}_{A}^{\;}=m{a}_{A}^{\;}$⑫
又有加速度定義：${a}_{BC}^{\;}=\frac{{v}_{ABC}^{\;}-{v}_{BC}^{\;}}{t}$            ${a}_{A}^{\;}=\frac{{v}_{ABC}^{\;}}{t}$⑬
可解得：${v}_{ABC}^{\;}=\frac{1}{3}{v}_{BC}^{\;}=\frac{1}{6}\sqrt{Rg}$⑭
設(shè)A從運(yùn)動(dòng)到共速對(duì)地的位移為s_A1，BC在這段時(shí)間的對(duì)地位移為s_BC，由動(dòng)能定理：
對(duì)BC：$-{f}_{BC}^{\;}{s}_{BC}^{\;}=\frac{1}{2}•2m{v}_{ABC}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{BC}^{2}$⑮
對(duì)A；$（{f}_{BC}^{\;}-{f}_{A}^{\;}）{s}_{A1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{ABC}^{2}$⑯
解得：${s}_{A1}^{\;}=\frac{1}{9}R$；   ${s}_{BC}^{\;}=\frac{4}{9}R$⑰
即BC在A上運(yùn)動(dòng)的距離為：$△L={s}_{BC}^{\;}-{s}_{A1}^{\;}=\frac{1}{3}R$⑱
BC最后與A左端的距離為：$L=R+△L=\frac{4}{3}R$⑲
（3）A、B、C共速后，成為一個(gè)整體，僅在A與地面的摩擦力做勻減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)s_A2停下來，
由動(dòng)能定理：$-f{s}_{A2}^{\;}=0-\frac{1}{2}•3m{v}_{ABC}^{2}$⑳
解得：${s}_{A2}^{\;}=\frac{1}{9}R$?
A停下后，左端與P的水平距離為：${L}_{AP}^{\;}={s}_{A1}^{\;}+{s}_{A2}^{\;}=\frac{2}{9}R$?
答：（1）C從圓弧頂端滑到P的過程中，摩擦力做的功$\frac{1}{4}mgR$．
（2）為使B、C不從A右端掉下來，A的長度至少要$\frac{4}{3}R$
（3）A停下后，左端與P的水平距離$\frac{1}{9}R$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要理清物塊的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，當(dāng)物體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意分析速度相等的狀態(tài)．