Question

如圖所示，質(zhì)量為m₃=3kg的滑道靜止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半徑為R=0.15m的四分之一圓弧，圓弧底部與滑道水平部分相切，滑到水平部分右端固定一個(gè)輕彈簧．滑道除CD部分粗糙外其他部分均光滑．質(zhì)量為m₂=2kg的物體2（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在滑道的B點(diǎn)，現(xiàn)讓質(zhì)量為m₁=1kg的物體1（可視為質(zhì)點(diǎn)）自A點(diǎn)由靜止釋放．兩物體在滑道上的BC之間相碰后并粘為一體（g=10m/s²）．
（1）求物體1從釋放到與物體2相碰的過(guò)程中，滑道向左運(yùn)動(dòng)的距離；
（2）若CD=0.1m，兩物體與滑道的CD部分的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ=0.1，求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（1）物體1從釋放到與物體2相碰前的過(guò)程中，物體2由于不受摩擦，靜止不動(dòng)．系統(tǒng)水平不受外力，動(dòng)量守恒，用位移與時(shí)間的比值表示平均速度，根據(jù)動(dòng)量守恒列式求出滑道向左運(yùn)動(dòng)的距離；
（2）物體1從釋放到與物體2相碰前的過(guò)程中，系統(tǒng)中只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒列式，可求出物體1、2碰撞前兩個(gè)物體的速度；物體1、2碰撞過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物體1、2向右運(yùn)動(dòng)，滑道向左運(yùn)動(dòng)，彈簧第一次壓縮最短時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒得知，物體1、2和滑道速度為零，此時(shí)彈性勢(shì)能最大．根據(jù)能量守恒定律求解在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能．

解答：解：（1）m₁從釋放到與m₂相碰撞過(guò)程中，m₁、m₃組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，
設(shè)m₁水平位移大小s₁，m₃水平位移大小s₃，則有0=m₁

s1

t

-m₃

s3

t

得  0=m₁s₁-m₃s₃ 
其中  s₁=R
可以求得s₃=

m1s1

m3

=0.05m  
（2）設(shè)m₁、m₂ 剛要相碰時(shí)物體1的速度v₁，滑道的速度為v₃，由機(jī)械能守恒定律有
m₁gR=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₃v₃²
由動(dòng)量守恒定律有0=m₁v₁-m₃v₃
設(shè)物體1和物體2相碰后的共同速度為v₂，由動(dòng)量守恒定律有
m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
彈簧第一次壓縮最短時(shí)由動(dòng)量守恒定律可知物體1、2和滑道速度為零，此時(shí)彈性勢(shì)能最大．
設(shè)為E_pm．從物體1、2碰撞后到彈簧第一次壓縮最短的過(guò)程中，由能量守恒有

1

2

（m₁+m₂）v₂²+

1

2

m₃v₃²-μ（m₁+m₂）g

.

CD

=E_pm
聯(lián)立以上方程，代入數(shù)據(jù)可得，E_pm=0.45J
答：
（1）物體1從釋放到與物體2相碰的過(guò)程中，滑道向左運(yùn)動(dòng)的距離為0.05m．
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能為0.45J．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問(wèn)題，求解兩物體間的相對(duì)位移，往往根據(jù)能量守恒研究．