Question

8．如圖所示的虛線PQ上方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，S為磁場(chǎng)邊界PQ上的點(diǎn)，兩質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶負(fù)電粒子1和帶正電粒子2分別以圖示方向的速度從S點(diǎn)射入磁場(chǎng)，粒子1和粒子2的速度大小分別為v₁=v₀、v₂=$\sqrt{3}$v₀，且α=30°，β=60°，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間兩粒子同時(shí)到達(dá)磁場(chǎng)的邊界，忽略兩粒子的重力以及兩粒子之間的相互作用．
（1）到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)，粒子1和粒子2之間的距離為多少？
（2）粒子1和粒子2射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔為多少？
（3）如果在PQ下方的紙面內(nèi)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，并且使粒子1在該電場(chǎng)中的軌跡為直線，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)，兩粒子在電場(chǎng)中相遇，求該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小與方向．

Answer 1

分析 （1）作出兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由牛頓第二定律求出半徑，結(jié)合幾何知識(shí)求出d；
（2）根據(jù)公式t=$\frac{θ}{360°}$T求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）由題意，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向應(yīng)與粒子1穿出磁場(chǎng)的方向平行，分為與粒子速度方向相同和相反兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）兩粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示，設(shè)粒子1和粒子2的半徑分別為r₁和r₂，到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)兩粒子之間的距離為d
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
粒子1所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：θ₁=240°，SM=2r₁sinθ₁=2r₁sin240°…②
粒子2所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：θ₂=300°，SN=2r₂sinθ₂=2r₂sin300°…③
根據(jù)幾何關(guān)系可得：d=SM+SN…④
①②③④聯(lián)立結(jié)合已知條件得：d=2r₁sin30°+2r₂sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$．⑤
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}$…⑥
粒子1在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{θ}_{1}}{360°}$T…⑦
粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{{θ}_{2}}{360°}$T…⑧
所以兩粒子射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔：△t=t₁-t₂…⑨
聯(lián)立①⑥⑦⑧⑨式得：△t=$\frac{πm}{3qB}$
（3）由題意，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向應(yīng)與粒子1穿出磁場(chǎng)的方向平行，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)E的大小為E，兩粒子在電場(chǎng)中加速度大小為a
根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq=ma…⑩
情況一：若電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與MN成30°角斜向右上，則粒子1做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，粒子2做類平拋運(yùn)動(dòng)．
dcos30°=v₁t+$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{2}$at² …⑪
dsin30°=v₂t…⑫
聯(lián)立⑤⑩⑪⑫式得：E=$\sqrt{3}$Bv₀
情況二：若電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與MN成30°角斜向左下，則粒子1做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，粒子2做類平拋運(yùn)動(dòng)．
dcos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at^2_-$\frac{1}{2}$at²…⑬
dsin30°=v₂t…⑭
聯(lián)立⑤⑩⑬⑭式得：E=-$\sqrt{3}$Bv₀＜0，因?yàn)镋為場(chǎng)強(qiáng)的大小，不可能為負(fù)，故情況二的假設(shè)不成立．
綜上所述，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向斜向右上與MN成30°角．
答：（1）到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)，粒子1和粒子2之間的距離為$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
      （2）粒子1和粒子2射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔為$\frac{πm}{3qB}$
      （3）若MN下方有平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且兩粒子在電場(chǎng)中相遇，其中的粒子1做直線運(yùn)動(dòng)．電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向與MN成30°角斜向右上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和帶電粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)以及在電場(chǎng)中的勻變速直線運(yùn)動(dòng)；粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合去解決，求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間時(shí)，要注意分析粒子所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角；第三問(wèn)粒子二在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律解決，要注意朝合理的方向建立分解坐標(biāo)系．粒子一在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決．再結(jié)合兩粒子相遇的時(shí)間條件與空間條件即可．