Question

18．如圖所示，在xOy平面的第一象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=6.25T，第二象限內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=5.0×10³V/m．在x軸上的A點(diǎn)有一離子源，它能夠產(chǎn)生質(zhì)量m=5.0×10^-5kg、電荷量為q=2.0×10^-3C且速度大小不同的帶正電離子，射入磁場(chǎng)的速度方向均與x軸正方向成37°角，坐標(biāo)原點(diǎn)O到A點(diǎn)的距離為d=0.8m，離子的重力與空氣阻力均不計(jì)，求：
（1）在x軸的正半軸上離子能夠到達(dá)的范圍；
（2）垂直于y軸迸入電場(chǎng)的離子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）在磁場(chǎng)中恰好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周的離子，進(jìn)入電場(chǎng)后到達(dá)x軸負(fù)半軸時(shí)的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，能夠到達(dá)x軸的正半軸的臨界情況是軌跡與+y軸相切，結(jié)合幾何關(guān)系求解即可；
（2）垂直于y軸迸入電場(chǎng)的離子，先畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，求解射入電場(chǎng)的位置坐標(biāo)；在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解；
（3）在磁場(chǎng)中恰好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周的離子，進(jìn)入電場(chǎng)后做曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解到達(dá)x軸負(fù)半軸時(shí)的動(dòng)能．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中能夠到達(dá)x軸的正半軸的臨界情況軌跡與+y軸相切，如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
d=r+rcos37°
C點(diǎn)的坐標(biāo)為：
x_C=d-2rcos37°
聯(lián)立解得：
x_C=$\fracmnusfk2{9}$=$\frac{4}{45}$m
即粒子可以打在+x軸上$\frac{4}{45}$m-0.8m范圍內(nèi)；
（2）垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)的離子在磁場(chǎng)中的軌跡如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
d=Rsin37°
射入電場(chǎng)的坐標(biāo)為：y=R+Rcos37°
聯(lián)立解得：y=3d=2.4m
在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式，有：
y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}^{2}$
解得：
t=$\sqrt{\frac{2my}{qE}}$=$\sqrt{\frac{{2×5.0×1{0^{-5}}kg×2.4m}}{{2.0×1{0^{-3}}C×5.0×1{0^3}V/m}}}=1.55×{10^{-2}}s$
（3）在磁場(chǎng)中恰好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周的離子，軌跡如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：2R=$\fracb7fusmc{sin37°}$
解得：R=$\fracgxw6lb2{2sin37°}$=$\frac{0.8}{2×0.6}=\frac{2}{3}m$
根據(jù)牛頓第二定律，有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
在磁場(chǎng)中恰好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周的離子，在y軸上對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為：y=$\frachgqx3xq{tan37°}$=$\frac{16}{15}$m
在電場(chǎng)中做曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
$qEy={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：
E_k=qEy+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
=$qEy+\frac{（qBR）^{2}}{2m}$
=$2.0×1{0^{-3}}C×5.0×1{0^3}V/m×\frac{16}{15}m+\frac{1}{2}×\frac{{{{（2.0×1{0^{-3}}C×6.25T×\frac{2}{3}m）}^2}}}{{2×5.0×1{0^{-5}}kg}}$
≈11J
答（1）在x軸的正半軸上離子能夠到達(dá)的范圍為$\frac{4}{45}$m-0.8m；
（2）垂直于y軸迸入電場(chǎng)的離子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間約為1.55×10^-2s；
（3）在磁場(chǎng)中恰好運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周的離子，進(jìn)入電場(chǎng)后到達(dá)x軸負(fù)半軸時(shí)的動(dòng)能約為11J．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系、牛頓第二定律、類平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式和動(dòng)能定理列式求解．