Question

（2007?攀枝花模擬）在智利工作的天文學家最近表示．他們很可能第一次直接拍攝到了圍繞恒星旋轉(zhuǎn)的行星．這顆恒星名叫
2M1207．它比太陽要小的多，距離我們有230光年之遠．洛杉磯加利福尼亞大學的本杰明教授說：“假如圍繞2M1207的真的是一顆行星．這將是人類第一次直接拍攝到太陽系外行星的照片，很久以來，科學家一直想象著能夠拍攝到類似太陽系這樣的行星圍繞一顆恒星運轉(zhuǎn)的太陽系外星體．”如果知道了這個行星的質(zhì)量m，行星的半徑r，行星的運行周期T，以及行星運行半徑R．求：
（1）2M1207的恒星的質(zhì)量
（2）該行星的衛(wèi)星的最大速度
（3）你還能推導出關(guān)于這個行星的哪些物理量，至少給出兩個？

Answer 1

分析：（1）這個行星繞2M1207恒星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，即可求得恒星的質(zhì)量．
（2）當衛(wèi)星繞行星表面附近運動時速度最大，由萬有引力等于向心力，列式求解即可；
（3）根據(jù)圓周運動的規(guī)律，分析即可．

解答：解：（1）設(shè)2M1207恒星的質(zhì)量為M，由萬有引力提供行星運動的向心力得：
  G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
解得M=

4π2R3

GT2

（2）設(shè)繞該行星運動的衛(wèi)星質(zhì)量為m′，最大速度為v_m，則由萬有引力提供衛(wèi)星運動的向心力，得
   G

mm′

r2

=m′

v 2 m

r

解得，v_m=

Gm r

（3）該行星做圓周運動的角速度為ω=

2π

T

，線速度為v=

2πR

T

．
答：
（1）2M1207的恒星的質(zhì)量是

4π2R3

GT2

．
（2）該行星的衛(wèi)星的最大速度是

Gm r

．
（3）還能推導出關(guān)于這個行星的角速度和線速度．

點評：應用萬有引力定律解決天體運動時，要建立模型，知道旋轉(zhuǎn)天體的軌道半徑和周期，可求出中心天體的質(zhì)量；同時注意第一宇宙速度的定義為半徑為星球半徑時的衛(wèi)星運行速度．