Question

5．某星球的半徑是地球半徑的p倍，質(zhì)量是地球質(zhì)量的q倍，已知地球表面的重力加速度為g，地球上的第一宇宙速度為v，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的“第一宇宙速度”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合星球和地球的質(zhì)量之比、半徑之比求出星球表面的重力加速度，從而得出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表達式，從而結(jié)合星球和地球的質(zhì)量之比和半徑之比求出第一宇宙速度之比，求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）在地球表面，物體所受的重力近似等于物體所受的萬有引力，
有：$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}g$，
同樣在星球表面：$G\frac{{M}_{星}{m}_{2}}{{{R}_{星}}^{2}}={m}_{2}{g}_{星}$，
解得$\frac{g}{{g}_{星}}=\frac{M}{{M}_{星}}•\frac{{{R}_{星}}^{2}}{{R}^{2}}=\frac{{p}^{2}}{q}$．
則星球表面的重力加速度g_星=$\frac{qg}{{p}^{2}}$．
（2）地球上的第一宇宙速度  $\frac{GM{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，
同樣，在星球上第一宇宙速度   ${v}_{星}=\sqrt{\frac{G{M}_{星}}{{R}_{星}}}$，
解得$\frac{{v}_{星}}{v}=\sqrt{\frac{{M}_{星}R}{M{R}_{星}}}=\sqrt{\frac{q}{p}}$，
則${v}_{星}=v\sqrt{\frac{q}{p}}$．
答：（1）該星球表面的重力加速度為$\frac{qg}{{p}^{2}}$．；
（2）該星球的“第一宇宙速度”為$v\sqrt{\frac{q}{p}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．