13.(湖南卷)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.
(Ⅰ)求ξ的分布及數(shù)學期望；
(Ⅱ)記“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx+1在區(qū)間[2，+∞
上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.
解：(I)分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”
為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨立，P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，
P(A3)=0.6.
客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取
值為3，2，1，0，所以
的可能取值為1，3.
P(=3)=P(A1.A2.A3)+ P(
)
= P(A1)P(A2)P(A3)+P(
)
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
|
=1)=1－0.24=0.76.
所以的分布列為
E=1×0.76+3×0.24=1.48.
(Ⅱ)解法一
因為
所以函數(shù)
上單調(diào)遞增，
要使
上單調(diào)遞增，當且僅當
從而
解法二：的可能取值為1，3.
當=1時，函數(shù)
上單調(diào)遞增，
當=3時，函數(shù)
上不單調(diào)遞增.0
所以
14.(江蘇卷)甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是
和
.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響.
(Ⅰ)求甲射擊4次,至少1次未擊中目標的概率;
(Ⅱ)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率;
(Ⅲ)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標,則停止射擊.問:乙恰好射擊5次后,被中止射擊的概率是多少?
20、(1)設(shè)“甲射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A，則其對立事件
為“4次均擊中目標”，則
(2)設(shè)“甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次”為事件B,則
(3)設(shè)“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C,由于乙恰好射擊5次后被中止射擊,故必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次及第二次至多有一次未擊中目標。
故
15.(江西卷)A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設(shè)表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).
(1)求的取值范圍；
(2)求的數(shù)學期望E.
解：(1)設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則
，可得：
(2)
16.(江西卷)A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止.求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時游戲終止的概率.
解：(1)設(shè)表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)，
設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則
，可得：
17．(遼寧卷)
某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個等級.對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品.
(Ⅰ)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；
(Ⅱ)已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在(I)的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
(Ⅲ)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名，可用資金60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(II)的條件下，x、y為何值時，
最大？最大值是多少？
(解答時須給出圖示)
(Ⅰ)解：
…………2分
(Ⅱ)解：隨機變量、
的分別列是
…………6分
(Ⅲ)解：由題設(shè)知
目標函數(shù)為 
……8分
作出可行域(如圖)：
作直線
將l向右上方平移至l1位置時，直線經(jīng)過可行域上
的點M點與原點距離最大，此時
…………10分
取最大值. 解方程組
得
即
時，z取最大值，z的最大值為25.2 .……………12分
18．(浙江卷)袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是
，從B中摸出一個紅球的概率為p．
(Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，共摸5次．(i)恰好有3次摸到紅球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率．
(Ⅱ) 若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是
，求p的值．
解: (I)(i) 
(ii)
＝
(II)設(shè)袋子A中有
個球，則袋子B中有2個球
由
得
19．(浙江卷)袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p．
(Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布率及數(shù)學期望E．
(Ⅱ) 若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值．
解：(I) (i) 
(ii) 隨機變量的取值為0, 1, 2, 3.
由n次獨立重復(fù)試驗概率公式
得
隨機變量的分布列是
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
 |
 |
 |
|
 |
的數(shù)學期望是
(II) 設(shè)袋子A有m個球，則袋子B中有2m個球。
由
得
20．(湖南卷)
某單位組織4個部門的職工旅游，規(guī)定每個部門只能在韶山、衡山、張家界3個景區(qū)中任選一個，假設(shè)各部門選擇每個景區(qū)是等可能的.
(Ⅰ)求3個景區(qū)都有部門選擇的概率；
(Ⅱ)求恰有2個景區(qū)有部門選擇的概率.
20．解：某單位的4個部門選擇3個景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為34.由于是任意選擇，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.
(I)3個景區(qū)都有部門選擇可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為
(從4個部門中任選2個作為1組，另外2個部門各作為1組，共3組，共有
種分法，每組選擇不同的景區(qū)，共有3！種選法)，記“3個景區(qū)都有部門選擇”為事件A1，那么事件A1的概率為
P(A1)=
(II)解法一：分別記“恰有2個景區(qū)有部門選擇”和“4個部門都選擇同一個景區(qū)”為事件A2和A3，則事件A3的概率為P(A3)=
，事件A2的概率為
P(A2)=1－P(A1)－P(A3)=
解法二：恰有2個景區(qū)有部門選擇可能的結(jié)果為
(先從3個景區(qū)任意選定2個，共有
種選法，再讓4個部門來選擇這2個景區(qū)，分兩種情況：第一種情況，從4個部門中任取1個作為1組，另外3個部門作為1組，共2組，每組選擇2個不同的景區(qū)，共有
種不同選法.第二種情況，從4個部門中任選2個部門到1個景區(qū)，另外2個部門在另1個景區(qū)，共有
種不同選法).所以P(A2)=
21.(山東)袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為
現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時既終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數(shù).
(I)求袋中所有的白球的個數(shù)；
(II)求隨機變量的概率分布；
(III)求甲取到白球的概率.
解:(I)設(shè)袋中原有
個白球,由題意知
可得
或
(舍去)即袋中原有3個白球.
(II)由題意,的可能取值為1,2,3,4,5
所以的分布列為:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
 |
 |
 |
 |
 |
(III)因為甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件
,則
22. (重慶卷)
在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張券中有一等獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎。某顧客從此10張券中任抽2張，求：
(1) 該顧客中獎的概率；
(2) 該顧客獲得的獎品總價值x (元)的概率分布列和期望Ex。
18．(本小題13分)
解法一：
(Ⅰ)
，即該顧客中獎的概率為.
(Ⅱ)的所有可能值為：0，10，20，50，60(元).且
故有分布列：
|
|
0 |
10 |
20 |
50 |
60 |
|
P |
|
|
 |
 |
|
從而期望
解法二：
(Ⅰ)
(Ⅱ)的分布列求法同解法一
由于10張券總價值為80元，即每張的平均獎品價值為8元，從而抽2張的平均獎品價值
=2×8=16(元).
23. (重慶卷)
加工某種零件需經(jīng)過三道工序。設(shè)第一、二、三道工序的合格率分別為
、
、
，且各道工序互不影響。
(1) 求該種零件的合格率；
(2) 從該種零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
18．(本小題13分)
(Ⅰ)解：
；
(Ⅱ)解法一： 該種零件的合格品率為
，由獨立重復(fù)試驗的概率公式得：
恰好取到一件合格品的概率為
，
至少取到一件合格品的概率為
解法二：
恰好取到一件合格品的概率為，
至少取到一件合格品的概率為 