《集合與簡(jiǎn)易邏輯》復(fù)習(xí)

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；

2、掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；

4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；

5、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；

(2)集合的分類：

①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集；

　 ?、诎丛靥卣鞣郑粩?shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集{y|y=x²}，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集{(x，y)|y=x²}表示開口向上，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線；

(3)集合的表示法：

　　 ①列舉法：用來(lái)表示有限集或具有顯著規(guī)律的無(wú)限集，如N₊={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、兩類關(guān)系：

(1)元素與集合的關(guān)系，用或表示；

　 (2)集合與集合的關(guān)系，用，，=表示，當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的子集；當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的真子集。

3、集合運(yùn)算

　 (1)交，并，補(bǔ)，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C_UA={x|x∈U，且xA}，集合U表

示全集；

(2)運(yùn)算律，如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，C_U(A∩B)=(C_UA)∪(C_UB)，

C_U(A∪B)=(C_UA)∩(C_UB)等。

4、命題：

(1)命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題；

(2)復(fù)合命題的形式：p且q，p或q，非p；

　 (3)復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)p為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。

　 (3)四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”，逆命題為“若q則p“，逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。

5、充分條件與必要條件

　 (1)定義：對(duì)命題“若p則q”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是p的充分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱p是q的充要條件；

　 (2)在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說(shuō)明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p的所有對(duì)象組成集合A，滿足條件q的所有對(duì)象組成集合q，則當(dāng)AB時(shí)，p是q的充分條件。BA時(shí)，p是q的充分條件。A=B時(shí)，p是q的充要條件；

(3)當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。

6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。

7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會(huì)用集合的思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。

　　 例1、已知集合M={y|y=x²+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解題思路分析：

在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡(jiǎn)集合，或者說(shuō)使集合的特征明朗化。M={y|y=x²+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴ M∩N=M={y|y≥1}

說(shuō)明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過(guò)求函數(shù)值域化簡(jiǎn)集合。此集合與集合{(x，y)|y=x²+1，x∈R}是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x²+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無(wú)關(guān)，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B+{x|x²-mx+2=0}，且A∩B=B，求實(shí)數(shù)m范圍。

解題思路分析：

化簡(jiǎn)條件得A={1，2}，A∩B=BBA

根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)集合B分類討論，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}

當(dāng)B=φ時(shí)，△=m²-8<0

∴

當(dāng)B={1}或{2}時(shí)，，m無(wú)解

當(dāng)B={1，2}時(shí)，

∴ m=3

綜上所述，m=3或

說(shuō)明：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素質(zhì)的一個(gè)重要方面，如本題當(dāng)B={1}或{2}時(shí)，不能遺漏△=0。

例3、用反證法證明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 證x、y中至少有一個(gè)大于1。

解題思路分析：

假設(shè)x<1且y<1，由不等式同向相加的性質(zhì)x+y<2與已知x+y≥2矛盾

∴ 假設(shè)不成立

∴ x、y中至少有一個(gè)大于1

說(shuō)明；反證法的理論依據(jù)是：欲證“若p則q”為真，先證“若p則非q”為假，因在條件p下，q與非q是對(duì)立事件(不能同時(shí)成立，但必有一個(gè)成立)，所以當(dāng)“若p則非q”為假時(shí)，“若p則q”一定為真。

例4、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的什么條件。

解題思路分析：

利用“”、“”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系

　 DCBA

∴ DA，D是A的充分不必要條件

說(shuō)明：符號(hào)“”、“”具有傳遞性，不過(guò)前者是單方向的，后者是雙方向的。

例5、求直線：ax-y+b=0經(jīng)過(guò)兩直線₁：2x-2y-3=0和₂：3x-5y+1=0交點(diǎn)的充要條件。

解題思路分析：

從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。

由 得₁，₂交點(diǎn)P()

∵ 過(guò)點(diǎn)P

∴

∴ 17a+4b=11

充分性：設(shè)a，b滿足17a+4b=11

∴

代入方程：

整理得：

此方程表明，直線恒過(guò)兩直線的交點(diǎn)()

而此點(diǎn)為₁與₂的交點(diǎn)

∴ 充分性得證

∴ 綜上所述，命題為真

說(shuō)明：關(guān)于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“”，雙向傳輸，同時(shí)證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必要性著手，再檢驗(yàn)充分性。

(一)　 選擇題

1、設(shè)M={x|x²+x+2=0}，a=lg(lg10)，則{a}與M的關(guān)系是

A、{a}=M　　　　 　　　　 B、M{a}　　　　 　　　 C、{a}M　　　　 　　　 D、M{a}

2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，則a的取值范圍是

A、 [0，2]　　 　　　　　　 B、(-2，2)　　　 　　　 C、(0，2]　　　 　　　　 D、(0，2)

3、已知集合M={x|x=a²-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b²-b，b∈R}，則M，N的關(guān)系是

A、 MN　　　 　　　　 B、MN　　　　　 　　　 C、M=N　　　　　 　　　 D、不確定

　　 4、設(shè)集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，則A∪B中的元素個(gè)數(shù)是

A、11　　　　　 　　　　 B、10 　　　　　　　　　 C、16　　　　　　 　　　 D、15

5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15　　　　　  B、16 　　　　　　　　　 C、31　　　　　　 　　　 D、32

6、對(duì)于命題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等”，下面判斷正確的是

　　 A、所給命題為假　　　　 B、它的逆否命題為真　　 C、它的逆命題為真　　　 D、它的否命題為真

7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要條件　　　 B、必要不充分條件　　　 C、充要條件　　　　　　 　D、既不充分也不必要條件

　　 8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3+1，∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之間的關(guān)系是

A、SBA　　　 　　　 B、S=BA　　　　 　　　 C、SB=A　　　　 　　　 D、SB=A

9、方程mx²+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是

A、0<m≤1或m<0　　　　 B、0<m≤1　　　　　　　　 C、m<1　　　　　 　　　　D、m≤1

10、已知p：方程x²+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a，b是整數(shù)，則p是q的

A、充分不必要條件　　　 B、必要不充分條件　　　　 C.充要條件　　　　　 　 D、既不充分又不必要條件

(二)　 填空題

11、已知M={}，N={x|，則M∩N=__________。

　　 12、在100個(gè)學(xué)生中，有乒乓球愛(ài)好者60人，排球愛(ài)好者65人，則兩者都愛(ài)好的人數(shù)最少是________人。

13、關(guān)于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是________________。

14、命題“若ab=0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為____________。

　　 15、非空集合p滿足下列兩個(gè)條件：(1)p{1，2，3，4，5}，(2)若元素a∈p，則6-a∈p，則集合p個(gè)數(shù)是__________。

(三)　 解答題

　　 16、設(shè)集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是單元素集合，求a取值范圍。

17、已知拋物線C：y=-x²+mx-1，點(diǎn)M(0，3)，N(3，0)，求拋物線C與線段MN有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件。

18、設(shè)A={x|x²+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。

19、已知，b=2-x，c=x²-x+1，用反證法證明：a、b、c中至少有一個(gè)不小于1。