《數(shù)列》復(fù)習(xí)

1、等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)；

2、一般數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和計(jì)算。

1、數(shù)列，是按照一定順序排列而成的一列數(shù)，從函數(shù)角度看，這種順序法則就是函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，因此數(shù)列可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù)，其特殊性在于：第一，定義域是正整數(shù)集或其子集；第二，值域是有順序的，不能用集合符號(hào)表示。

研究數(shù)列，首先研究對(duì)應(yīng)法則--通項(xiàng)公式：a_n=f(n)，n∈N₊，要能合理地由數(shù)列前n項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式，其次研究前n項(xiàng)和公式S_n：S_n=a₁+a₂+…a_n，由S_n定義，得到數(shù)列中的重要公式：。

一般數(shù)列的a_n及S_n,，除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，求S_n還有下列基本題型：列項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相消法。

2、等差數(shù)列

　 (1)定義，{a_n}為等差數(shù)列a_n+1-a_n=d(常數(shù))，n∈N₊2a_n=a_n-1+a_n+1(n≥2，n∈N₊)；

　 (2)通項(xiàng)公式：a_n=a_n+(n-1)d，a_n=a_m+(n-m)d；

　　　　 前n項(xiàng)和公式：；

　 (3)性質(zhì)：a_n=an+b，即a_n是n的一次型函數(shù)，系數(shù)a為等差數(shù)列的公差；

　　 S_n=an²+bn，即S_n是n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；

若{a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，則{a_n±n_n},{},{ka_n+c}(k，c為常數(shù))均為等差數(shù)列；

當(dāng)m+n=p+q時(shí)，a_m+a_n=a_p+a_q，特例：a₁+a_n=a₂+a­_n-1=a₃+a_n-2=…；當(dāng)2n=p+q時(shí)，2a_n=a_p+a_q；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_2n-1=(2n-1)a­_n；S_奇=a_中，S_偶=a_中。

3、等比數(shù)列

(1)定義：=q(q為常數(shù)，a_n≠0)；a_n²=a_n-1a_n+1(n≥2，n∈N₊)；

(2)通項(xiàng)公式：a_n=a₁q^n-1，a_n=a_mq^n-m;

　　 前n項(xiàng)和公式：；

(3)性質(zhì)

當(dāng)m+n=p+q時(shí)，a_ma_n=a_pa_q，特例：a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…，當(dāng)2n=p+q時(shí)，a_n²=a_pa_q，數(shù)列{ka_n}，{}成等比數(shù)列。

4、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用

　 (1)基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)，公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等；

　 (2)靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算；

　 (3)若{a_n}為等差數(shù)列，則{}為等比數(shù)列(a>0且a≠1)；

若{a_n}為正數(shù)等比數(shù)列，則{log_aa_n}為等差數(shù)列(a>0且a≠1)。

　 　例1、已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，其中，，…，恰為等比數(shù)列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+…+k_n。

解題思路分析：

從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手

設(shè){a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d

∵ a₁，a₅，a₁₇成等比數(shù)列

∴ a₅²=a₁a₁₇

∴(a₁+4d)²=a₁(a₁+16d)

∴ a₁=2d

設(shè)等比數(shù)列公比為q，則

對(duì)項(xiàng)來說，

在等差數(shù)列中：

在等比數(shù)列中：

∴

∴

　　　　　　　　 

注：本題把k₁+k₂+…+k_n看成是數(shù)列{k_n}的求和問題，著重分析{k_n}的通項(xiàng)公式。這是解決數(shù)列問題的一般方法，稱為“通項(xiàng)分析法”。

例2、設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₇=7，S₁₅=75,T_n為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求T_n。

解題思路分析：

法一：利用基本元素分析法

設(shè){a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，則

∴

∴

∴

此式為n的一次函數(shù)

∴ {}為等差數(shù)列

∴

法二：{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)S_n=An²+Bn

∴

解之得：

∴ ，下略

注：法二利用了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例3、正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且，求：

(1)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為B_n，求證：B_n.

解題思路分析：

(I)涉及到a_n及S_n的遞推關(guān)系，一般都用a_n=S_n-S_n-1(n≥2)消元化歸。

∵

∴ 4S_n=(a_n+1)²

∴ 4S_n-1=(a_n-1+1)²(n≥2)

∴ 4(S_n-S_n-1)=(a_n+1)²-(a_n-1+1)²

∴ 4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1

整理得：(a_n-1+a_n)(a_n-a_n-1-2)=0

∵ a_n>0

∴ a_n-a_n-1=2

∴ {a_n}為公差為2的等差數(shù)列

在中，令n=1，a₁=1

∴ a_n=2n-1

　 (II)

∴

注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由4S_n=(a_n+1)²推出4S_n-1=(a_n-1+1)²，它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法。在數(shù)列中一般用n-1，n+1等去代替n，實(shí)際上也就是說已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于n的恒等式，代換就是對(duì)n賦值。

例4、等差數(shù)列{a_n}中，前m項(xiàng)的和為77(m為奇數(shù))，其中偶數(shù)項(xiàng)的和為33，且a₁-a_m=18，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解題思路分析：

利用前奇數(shù)項(xiàng)和和與中項(xiàng)的關(guān)系

令m=2n-1，n∈N₊

則

∴

∴ n=4

∴ m=7

∴ a_n=11

∴ a₁+a_m=2a_n=22

又a₁-a_m=18

∴ a₁=20，a_m=2

∴ d=-3

∴ a_n=-3n+23

例5、設(shè){a_n}是等差數(shù)列，，已知b₁+b₂+b₃=，b₁b₂b₃=，求等差數(shù)列的通項(xiàng)a_n。

解題思路分析：

∵ {a_n}為等差數(shù)列

∴ {b_n}為等比數(shù)列

從求解{b_n}著手

∵ b₁b₃=b₂²

∴ b₂³=

∴ b₂=

∴

∴ 　或

∴ 　或

∵

∴

∴ a_n=2n-3 或 a_n=-2n+5

注：本題化歸為{b_n}求解，比較簡(jiǎn)單。若用{a_n}求解，則運(yùn)算量較大。

例6、已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，S_n為它的前n項(xiàng)和，

(1)用S_n表示S_n+1；

(2)是否存在自然數(shù)c和k，使得成立。

　　 解題思路分析：

　 (1)∵

∴

　 (2)(*)

∵

∴

∴ 式(*)　　　 ①

∵ S_k+1>S_k

∴

又S_k<4

∴ 由①得：c=2或c=3

當(dāng)c=2時(shí)

∵ S₁=2

∴ k=1時(shí)，c<S_k不成立，從而式①不成立

∵

∴ 由S_k<S_k+1得：

∴ 當(dāng)k≥2時(shí)，，從而式①不成立

　 當(dāng)c=3時(shí)，S₁2，S₂=3

∴ 當(dāng)k=1，2時(shí)，C<S_k不成立

∴ 式①不成立

∵

∴ 當(dāng)k≥3時(shí)，，從而式①不成立

綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使成立

例7、某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為資金發(fā)給n位職工，資金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相等)從大到小，由1到n排序，第1位職工得資金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金。

　 (1)設(shè)a_k(1≤k≤n)為第k位職工所得資金額，試求a₂，a₃，并用k，n和b表示a_k(不必證明)；

　 (2)證明：a_k<a_k+1(k=1，2，…，n-1)，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義。

解題思路分析：

談懂題意，理清關(guān)系，建立模型

第1位職工的獎(jiǎng)金

第2位職工的獎(jiǎng)金

第3位職工的獎(jiǎng)金

……

第k位職工的獎(jiǎng)金

　 (2)

此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則。

例8、試問數(shù)列{}的前多少項(xiàng)的和最大，并求這個(gè)最大值(lg2=0.3010)

解題思路分析：

法一：

∴ {a_n}為首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列

∴

∵ n∈N₊

∴ n=14時(shí)，(S_n)_max=14.35

法二：∵ a₁=2>0，d=

∴ {a_n}是遞減數(shù)列，且S_n必為最大值

設(shè)

∴

∴

∴ k=14

∴ (S_n)_max=S₁₄=14.35

(一)　 選擇題

　　 1、已知a，b，a+b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，且0<log_mab<1，則m取值范圍是

A、m>1　　　　　 　　　　 B、1<m<8 　　　　　　　 C、m>8　　　　 　　　　 D、0<m<1或m>8

2、設(shè)a>0，b>0，a，x₁，x₂，b成等差數(shù)列，a，y₁，y₂，b成等比數(shù)列，則x₁+x₂與y₁+y₂的大小關(guān)系是

A、x₁+x₂≤y₁+y₂　　　　　 B、x₁+x₂≥y₁+y₂ C、x₁+x₂<y₁+y₂　　　　　 　D、x₁+x₂>y₁+y₂

3、已知S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=Pⁿ(P∈R，n∈N_+­­)，那么數(shù)列{a_n}

A、 是等比數(shù)列　　　　　　　　　　　 　　　　　　 B、當(dāng)P≠0時(shí)是等比數(shù)列

C、 當(dāng)P≠0，P≠1時(shí)是等比數(shù)列　　　　 　　　　　　 D、不是等比數(shù)列

4、{a_n}是等比數(shù)列，且a_n>0，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，則a₃+a₅等于

A、5　　　　　　　 　　 B、10 　　　　　　　　　 C、15　　　　　　　 D、20

5、已知a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y=ax²+2bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A、 0　　　　　　　 　　　 B、1 　　　　　　　　　 C、2　　　　　　　 　 D、1或2

6、設(shè)m∈N₊，log₂m的整數(shù)部分用F(m)表示，則F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是

A、 8204　　　　　 　　　 B、8192 　　　　　　　　 C、9218　　　　　 　 D、8021

　　 7、若x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0(a≠b)的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值為

A、 　　　　　　　　　 B、　　　　　　 　　　 C、　　　　　 　　 D、

8、 在100以內(nèi)所有能被3整除但不能被7整除的正整數(shù)和是

A、1557　　　　　 　　　 B、1473 　　　　　　　　 C、1470　　　　　 　 D、1368

　　 9、從材料工地運(yùn)送電線桿到500m以外的公路，沿公路一側(cè)每隔50m埋栽一根電線桿，已知每次最多只能運(yùn)3根，要完成運(yùn)載20根電線桿的任務(wù)，最佳方案是使運(yùn)輸車運(yùn)行

A、 11700m　　　　 　　　 B、14700m　　　　　 　　 C、14500m　　　　 　 D、14000m

　　 10、已知等差數(shù)列{a_n}中，|a₃|=|a₉|，公差d<0，則使前n項(xiàng)和S_n取最大值的正整數(shù)n是

A、4或5　　　　　 　　 B、5或6 　　　　　　　 C、6或7　　　　 　 D、8或9

(二)　 填空題

11、已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n(n+1)(n+2)，則它的前n項(xiàng)和S_n=______。

12、設(shè)等差數(shù)列{a_n}共有3n項(xiàng)，它的前2n項(xiàng)之和為100，后2n項(xiàng)之和為200，則該等差數(shù)列的中間n項(xiàng)的和等于

________。

13、設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}(b_n>0)，n∈N₊滿足(n∈N₊)，則{a_n}為等差數(shù)列是{b_n}為等比數(shù)

列的________條件。

14、長(zhǎng)方體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為216cm³，則全面積的最小值是______cm²。

15、若不等于1的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則(2-log_ba)(1+log_ca)=________。

(三)解答題

16、已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)。

17、已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁>0，公比q>-1(q≠1)，設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=a_n+1+a_n+2(n∈N₊)，數(shù)列{a_n},{b_n}的前n項(xiàng)和分別記為A_n，B_n，試比較A_n與B_n大小。

18、數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n(n∈N₊)

(1)求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；

(3)設(shè)(n∈N₊)T_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)于任意的n∈N₊，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。