1、直線方程的五種表現(xiàn)形式，如何求直線方程；二元一次不等式的幾何意義及運(yùn)用。

2、圓的方程三種形式，如何求圓的方程。

3、直線和圓位置關(guān)系的研究。

1、曲線和方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩種常見研究對(duì)象。借助于平面直角坐標(biāo)系，形和數(shù)可

以得到高度的統(tǒng)一，它們最基本的對(duì)應(yīng)關(guān)系是點(diǎn)和有序數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)。當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成軌跡時(shí)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)便會(huì)滿足一個(gè)方程。當(dāng)曲線C和方程F(x，y)=0滿足如下關(guān)系時(shí)：①曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，則稱曲線C為方程F(x，y)=0表示的曲線；方程F(x，y)=0是曲線C表示的方程。從集合角度看，點(diǎn)集(曲線)與方程解集相等。解析幾何研究的內(nèi)容就是給定曲線C，如何求出它所對(duì)應(yīng)的方程，并根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質(zhì)。其特征是以數(shù)解形。坐標(biāo)法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。

2、直線的傾斜角α和斜率k是描述直線位置的重要參數(shù)，它們之間關(guān)系是正切函數(shù)關(guān)系：k=tanα，α∈[0，，當(dāng)α=時(shí)，直線斜率不存在，否則由α求出唯一的k與之對(duì)應(yīng)。

當(dāng)已知k，求傾斜角α?xí)r：k≥0時(shí)，α=arctank；k<0時(shí)，α=π+arctank?；颍簁=0時(shí)，α=0；k≠0時(shí)，cotα=,α=arccot。

由正切函數(shù)可知，當(dāng)α∈(0，)，α遞增時(shí)，斜率k→+∞。當(dāng)α∈(，π)，α遞減時(shí)，斜率k→-∞。

當(dāng)涉及到斜率參數(shù)時(shí)，通常對(duì)k是否存在分類討論。

3、直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax+By+C=0(A²+B²≠0)一一對(duì)應(yīng)。

從幾何條件看，已知直線上一點(diǎn)及直線方向與已知直線上兩點(diǎn)均可確定直線；從對(duì)應(yīng)方程看，直線方程兩種典型形式：點(diǎn)斜式(斜截式)，兩點(diǎn)式(截距式)，因此求直線方程，常用待定系數(shù)法。即根據(jù)題意，選擇方程的適當(dāng)形式；由已知條件，列關(guān)于參數(shù)的方程(組)。

當(dāng)點(diǎn)P(x₀，y₀)在直線Ax+By+C=0上時(shí)，其坐標(biāo)滿足方程Ax₀+By₀+C=0；當(dāng)P不在直線Ax+By+C=0上時(shí)，Ax₀+By₀+C≠0，即Ax₀+By₀+C>0或Ax₀+By₀+C<0。這就是二元一次不等式的幾何意義：二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直線Ax+By+C=0上方或下方區(qū)域，其具體位置的確定常用原點(diǎn)(0，0)代入檢驗(yàn)。利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內(nèi)容。

因直線與二元一次方程Ax+By+C=0(A²+B²≠0)一一對(duì)應(yīng)，即由有序數(shù)組(A，B，C)確定，因此研究直線與直線之間的位置關(guān)系就是考察直線對(duì)應(yīng)的數(shù)組間關(guān)系。

設(shè)直線₁：A₁x+B₁y+C₁=0(A₁²+B₁²≠0)，直線₂：A₂x+B₂y+C₂=0(A₂²+B₂²≠0)

則：₁∥₂

₁與₂相交A₁B₂≠A₂B₁

其夾角公式為，其中k₁，k₂分別表示₁及₂斜率，當(dāng)₁或₂斜率不存在時(shí)，畫圖通過三角形求解，₁與₂夾角為θ∈(0，]

特例：₁⊥₂A₁A₂+B₁B₂=0(此時(shí)不能用夾角公式求解)

利用點(diǎn)P(x₀，y₀)到直線：Ax+By+C=0的距離公式d=可以求出兩平行直線：Ax+By+C₁=0，Ax+By+C₂=0(C₁≠C₂)間的距離d=。

4、當(dāng)直線位置不確定時(shí)，直線對(duì)應(yīng)的方程中含有參數(shù)。含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對(duì)應(yīng)的直線是有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系。

在點(diǎn)斜式方程y-y₀=k(x-x₀)中，當(dāng)(x₀，y₀)確定，k變化時(shí)，該方程表示過定點(diǎn)(x₀，y₀)的旋轉(zhuǎn)直線系，當(dāng)k確定，(x₀，y₀)變化時(shí)，該方程表示平行直線系。

這些直線系還有其它表示形式：

(1)已知直線：Ax+By+C=0，則

方程Ax+By+m=0(m為參數(shù))表示與平行的直線系；方程-Bx+Ay+n=0(n為參數(shù))表示與垂直的直線系。

　 (2)已知直線₁：A₁x+B₁y+C₌₁=0，直線₂：A₂x+B₂y+C₂=0，則方程A₁x+B₁y+C₁+λ(A₂x+B₂y+C₂)=0表示過₁與₂交點(diǎn)的直線系(不含₂)

掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，不僅可以加深數(shù)形結(jié)合的思想，還可以優(yōu)化解題思想。

5、圓與二元二次方程一一對(duì)應(yīng)，這些二元二次方程方程特征為：(1)二次項(xiàng)中無xy交叉項(xiàng)；(2)x²，y²項(xiàng)前面系數(shù)相等；(3)x，y的一次項(xiàng)系數(shù)D，E及常數(shù)項(xiàng)F滿足D²+E²-4F>0。

圓方程常見形式：(1)標(biāo)準(zhǔn)式：(x-a)²+(y-b)²=R²(R>0)，其中(a，b)為圓心，R為半徑；(2)一般式：x²+y²+Dx+Ey+F=0；(3)參數(shù)式：(x-a)²+(y-b)²=R²(R>0)的參數(shù)式為：x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ為參數(shù)，表示旋轉(zhuǎn)角，參數(shù)式常用來表示圓周上的點(diǎn)。

求圓方程的原理與求直線方程完全類似。

直線和圓位置關(guān)系及圓和圓位置關(guān)系常借助于平面幾何知識(shí)，而不采用方程組理論(△法)。

6、對(duì)稱是平面幾何的基本變換。在掌握點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)及直線對(duì)稱的基礎(chǔ)上，理解曲線與曲線之間的中心對(duì)稱及軸對(duì)稱。善于利用對(duì)稱的知識(shí)解題。

7、本章主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價(jià)變換等。

例1、已知定點(diǎn)P(6，4)與定直線₁：y=4x，過P點(diǎn)的直線與­₁交于第一象限Q點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)M，求使△OQM面積最小的直線方程。

解題思路分析：

直線是過點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點(diǎn)Q(還是M)作為參數(shù)是本題關(guān)鍵。

通過比較可以發(fā)現(xiàn)，選k作為參數(shù)，運(yùn)算量稍大，因此選用點(diǎn)參數(shù)。

設(shè)Q(x₀，4x₀)，M(m，0)

∵ Q，P，M共線

∴ k_PQ=k_PM

∴

解之得：

∵ x₀>0，m>0

∴ x₀-1>0

∴

令x₀-1=t，則t>0

　 ≥40

當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x₀=11時(shí)，等號(hào)成立

此時(shí)Q(11，44)，直線：x+y-10=0

評(píng)注：本題通過引入?yún)?shù)，建立了關(guān)于目標(biāo)函數(shù)S_△OQM的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式再此目標(biāo)函數(shù)的最值。要學(xué)會(huì)選擇適當(dāng)參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距b，角度θ，點(diǎn)的坐標(biāo)都是常用參數(shù)，特別是點(diǎn)參數(shù)。

例2、已知△ABC中，A(2，-1)，B(4，3)，C(3，-2)，求：

　 (1)BC邊上的高所在直線方程；(2)AB邊中垂線方程；(3)∠A平分線所在直線方程。

解題思路分析：

　 (1)∵ k_BC=5

∴ BC邊上的高AD所在直線斜率k=

∴ AD所在直線方程y+1=(x-2)

即x+5y+3=0

　 (2)∵ AB中點(diǎn)為(3，1)，k_AB=2

∴ AB中垂線方程為x+2y-5=0

　 (3)設(shè)∠A平分線為AE，斜率為k，則直線AC到AE的角等于AE到AB的角。

∵ k_AC=-1，k_AB=2

∴

∴ k²+6k-1=0

∴ k=-3-(舍)，k=-3+

∴ AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0

評(píng)注：在求角A平分線時(shí)，必須結(jié)合圖形對(duì)斜率k進(jìn)行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時(shí)，都要對(duì)兩解進(jìn)行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設(shè)P(x，y)為直線AE上任一點(diǎn)，則P到AB、AC距離相等，得，化簡即可。還可注意到，AB與AC關(guān)于AE對(duì)稱。

例3、(1)求經(jīng)過點(diǎn)A(5，2)，B(3，2)，圓心在直線2x-y-3=0上圓方程；

　 (2)設(shè)圓上的點(diǎn)A(2，3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在這個(gè)圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓方程。

解題思路分析：

研究圓的問題，既要理解代數(shù)方法，熟練運(yùn)用解方程思想，又要重視幾何性質(zhì)及定義的運(yùn)用，以降低運(yùn)算量。總之，要數(shù)形結(jié)合，拓寬解題思路。

(1)法一：從數(shù)的角度

若選用標(biāo)準(zhǔn)式：設(shè)圓心P(x，y)，則由|PA|=|PB|得：(x₀-5)²+(y₀-2)²=(x₀-3)²+(y₀-2)²

又2x₀-y₀-3=0

兩方程聯(lián)立得：，|PA|=

∴ 圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)²+(y-5)²=10

若選用一般式：設(shè)圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，則圓心()

∴

解之得：

法二：從形的角度

AB為圓的弦，由平幾知識(shí)知，圓心P應(yīng)在AB中垂線x=4上，則由得圓心P(4，5)

∴ 半徑r=|PA|=

顯然，充分利用平幾知識(shí)明顯降低了計(jì)算量

(2)設(shè)A關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)為A’

由已知AA’為圓的弦

∴ AA’對(duì)稱軸x+2y=0過圓心

設(shè)圓心P(-2a，a)，半徑為R

則R=|PA|=(-2a-2)²+(a-3)²

又弦長，

∴

∴ 4(a+1)²+(a-3)²=2+

∴ a=-7或a=-3

當(dāng)a=-7時(shí)，R=；當(dāng)a=-3時(shí)，R=

∴ 所求圓方程為(x-6)²+(y+3)²=52或(x-14)²+(y+7)²=244

例4、已知方程x²+y²-2(m+3)x+2(1-4m²)y+16m⁴+9=0表示一個(gè)圓，(1)求實(shí)數(shù)m取值范圍；(2)求圓半徑r取值范圍；(3)求圓心軌跡方程。

解題思路分析：

　 (1)m滿足[-2(m+3)]²+[2(1-4m²)]²-4(16m⁴+9)>0，即7m²-6m-1<0

∴

(3)半徑r=

　∵

　∴ 時(shí)，

　∴ 0<r≤

　 (3)設(shè)圓心P(x，y)，則

消去m得：y=4(x-3)²-1

又

∴

∴ 所求軌跡方程為(x-3)²=(y+1)()

例5、如圖，過圓O：x²+y²=4與y軸正半軸交點(diǎn)A作此圓的切線，M為上任一點(diǎn)，過M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q，求△MAQ垂心P的軌跡方程。

解題思路分析：

從尋找點(diǎn)P滿足的幾何條件著手，著眼于平幾知識(shí)的運(yùn)用。

連OQ，則由OQ⊥MQ，AP⊥MQ得OQ∥AP

同理，OA∥PQ

又OA=OQ

∴ OAPQ為菱形

∴ |PA|=|OA|=2

設(shè)P(x，y)，Q(x₀，y₀)，則

又x₀²+y₀²=4

∴ x²+(y-2)²=4(x≠0)

評(píng)注：一般說來，當(dāng)涉及到圓的切線時(shí)，總考慮過焦點(diǎn)的弦與切線的垂直關(guān)系；涉及到圓的弦時(shí)，常取弦的中點(diǎn)，考慮圓心、弦的中點(diǎn)、弦的端點(diǎn)組成的直角三角形。

(一)選擇題

1、若直線(m²-1)x-y+1-2m=0不過第一象限，則實(shí)數(shù)m取值范圍是

A、-1<m≤　　　 　　　 B、≤m≤1 　　　　　 C、<m<1　　　 　　　　 D、≤m≤1

2、已知直線2x+y-2=0和mx-y+1=0的夾角為，則m值為

A、 或-3　　　 　　　 B、-3或　　　　 　　　 C、-3或3　　　　 　　　 D、或3

3、點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，O為原點(diǎn)，則|OP|的最小值是

A、 2　　　　　　 　　　 B、　　　　　　 　　　 C、　　　　　 　　　 D、

4、過點(diǎn)A(1，4)，且橫縱截距的絕對(duì)值相等的直線共有

A、 1條　　　　　 　　　 B、2條　　　　　  C、3條　　　　　 　　　 D、4條

5、圓x²+y²-4x+2y+C=0與y軸交于A、B兩點(diǎn)，圓心為P，若∠APB=90⁰，則C的值是

A、 -3　　　　　 　　　 B、3 　　　　　　 C、　　　　　 　　　 D、8

　　 6、若圓(x-3)²+(y+5)²=r²上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0距離等于1，則半徑r取值范圍是

A、 (4，6)　　　 　　　 B、[4，6)　　　　 　　　 C、(4，6]　　　　 　　　 D、[4，6]

　　 7、將直線x+y-1=0繞點(diǎn)(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再向上平移一個(gè)單位，此時(shí)恰與圓x²+(y-1)²=R²相切，則正數(shù)R等于

A、 　　　　　　　　　 B、　　　　　 　　　 C、1　　　　　　 　　　 D、

8、 方程x²+y²+2ax-2ay=0所表示的圓

A、關(guān)于x軸對(duì)稱　　　　 B、關(guān)于y軸對(duì)稱　　　　 C、關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱　　 D、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

(二)填空題

　　 9、直線ax+by+c=0與直線dx+ey+c=0的交點(diǎn)為(3，-2)，則過點(diǎn)(a，b)，(d，e)的直線方程是___________________。

10、已知{(x，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，則直線(m+3)x+y=

3m+4與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是__________________。

11、已知x，y滿足，則x-y的最大值為________，最小值為________。

12、過點(diǎn)A(2，1)，且在坐標(biāo)軸截距相等的直線方程是_________________。

13、已知圓：(x-1)²+y²=1，作弦OA，則OA中點(diǎn)的軌跡方程是__________________。

(三)解答題

　　 14、已知y=2x是△ABC中∠C平分線所在直線方程，A(-4，2)，B(3，1)，求點(diǎn)C坐標(biāo)，并判斷△ABC形狀。

　 15、已知n條直線：x-y+c_i=0(i=1，2，…，n)，其中C₁=，C₁<C₂<C₃<…<C_n，且每相鄰兩條之間的距離順次為2，3，4，…，n，(1)求C_n；(2)求x-y+C_n=0與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積：(3)求x-y+C_n-1=0與x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成的圖形面積。

16、已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，(1)求證：(a-2)(b-2)=2；(2)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；(3)求△AOB面積的最小值。

17、已知兩圓x²+y²=4和x²+(y-8)²=4，(1)若兩圓分別在直線y=x+b兩側(cè)，求b取值范圍；(2)求過點(diǎn)A(0，5)且和兩圓都沒有公共點(diǎn)的直線的斜率k的范圍。

18、當(dāng)0<a<2時(shí)，直線₁：ax-2y-2a+4=0與₂：2x+a²y-2a²-4=0和坐標(biāo)軸成一個(gè)四邊形，要使圍成的四邊形面積最小，a應(yīng)取何值？