1.(廣東卷)已知函數(shù).(I)求的最小正周期;
(II)求的的最大值和最小值;(III)若,求的值.
解:
(Ⅰ)的最小正周期為; (Ⅱ)的最大值為和最小值;
(Ⅲ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383753_1/image172.gif">,即,即
2.已知函數(shù)。
(1)求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合;
(2)證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。
解:
(1)所以的最小正周期,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383753_1/image119.gif">,
所以,當(dāng),即時(shí),最大值為;
(2)證明:欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,只要證明對(duì)任意,有成立,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383753_1/image184.gif">,
,
所以成立,從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。
3.(上海春)已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的值; (2)求函數(shù)的值域.
解:(1),
.
(2), ,
函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383753_1/image197.gif">.
4.(重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cos2ωx+sinxcosx+a(其中>0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為,求a的值.
5.已知函數(shù)
(Ⅰ)將f(x)寫成的形式,并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo);
(Ⅱ)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對(duì)的角為x,試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.
解:
(Ⅰ)由=0即
即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為
(Ⅱ)由已知b2=ac
即的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383753_1/image210.gif">.
綜上所述, , 值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383753_1/image210.gif"> .
說明:本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí),還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。
6. 已知函數(shù)y=cos2x+sinx.cosx+1 (x∈R),
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
解:(1)y=cos2x+sinx.cosx+1= (2cos2x-1)+ +(2sinx.cosx)+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x.sin+sin2x.cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值時(shí),只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即 x=+kπ,(k∈Z)。
所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}
(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:
(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像;
(ii)把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像;
(iii)把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像;
(iv)把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。
綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。
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