1.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系
( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
;
其前n項(xiàng)和公式為
.
3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;
其前n項(xiàng)的和公式為
或.
4.等比差數(shù)列
:的通項(xiàng)公式為
;
其前n項(xiàng)和公式為
.
1、數(shù)列的概念:數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。
2.等差數(shù)列的有關(guān)概念:
(1)等差數(shù)列的判斷方法:定義法或。
(2)等差中項(xiàng):若成等差數(shù)列,則A叫做與的等差中項(xiàng),且。
3.等差數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng)公差時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù),且斜率為公差;前和
是關(guān)于的二次函數(shù)常數(shù)項(xiàng)0.
(2)若公差,則為遞增等差數(shù)列,若公差,則為遞減等差數(shù)列,若公差,則為常數(shù)列。
(3)當(dāng)時(shí),則有,
特別地,當(dāng)時(shí),則有
(4) 若、是等差數(shù)列,
,…也成等差數(shù)列
(5)在等差數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),
,
(這里即);。
(6)若等差數(shù)列、的前和分別為、,且,則
.
(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一:由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非正);法二:因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要注意數(shù)列的特殊性。
(8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).
注意:公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng),其項(xiàng)數(shù)不一定相同,即研究.
4.等比數(shù)列的有關(guān)概念:
(1)等比數(shù)列的判斷方法:定義法,其中或。
(2)等比數(shù)列的前和
特別提醒:等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式,為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí),首先要判斷公比是否為1,再由的情況選擇求和公式的形式,當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí),要對(duì)分和兩種情形討論求解。
(3)等比中項(xiàng):若成等比數(shù)列,那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒:不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng),只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng),且有兩個(gè)。
5.等比數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.
(2) 若是等比數(shù)列,且公比,則數(shù)列 ,…也是等比數(shù)列。
當(dāng),且為偶數(shù)時(shí),數(shù)列
,…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.
(3)若,則為遞增數(shù)列;
若, 則為遞減數(shù)列;
若 ,則為遞減數(shù)列;
若, 則為遞增數(shù)列;
若,則為擺動(dòng)數(shù)列;
若,則為常數(shù)列.
(4)當(dāng)時(shí),,這里,但,這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式特征,據(jù)此判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。
(5) 在等比數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),.
(7)數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列,故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。
6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法:
⑴公式法:①等差數(shù)列通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。
⑵已知(即)求,用作差法:。
⑶已知求,用作商法:。
⑷若求用累加法:
。
⑸已知求,用累乘法:
。
⑹已知遞推關(guān)系求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。
特別地,(1)形如、(為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后,再求。
(2)形如的遞推數(shù)列
都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。
注意:(1)用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),你注意到此等式成立的條件了嗎?(,當(dāng)時(shí),);
(2)一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式,然后再求解。
7.數(shù)列求和的常用方法:
(1)公式法:①等差數(shù)列求和公式;②等比數(shù)列求和公式,特別聲明:運(yùn)用等比數(shù)列求和公式,務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系,必要時(shí)需分類(lèi)討論.;③常用公式:,
(2)分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.
(3)倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),則??煽紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).
(4)錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).
(5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:
①;
②;
③,
;
④?。?/p>
⑤
.(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法:先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征,再運(yùn)用分組求和法求和。
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