1.(湖南卷)若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線(xiàn):的距離為,則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是 ( )
A.[] B.[] C.[ D.
解析:圓整理為,∴圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑為3,要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則圓心到直線(xiàn)的距離應(yīng)小于等于, ∴ ,∴ ,∴ ,,
∴ ,直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是,選B.
2.(江蘇卷)圓的切線(xiàn)方程中有一個(gè)是
(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0
[正確解答]直線(xiàn)ax+by=0,則,由排除法,
選C,本題也可數(shù)形結(jié)合,畫(huà)出他們的圖象自然會(huì)選C,用圖象法解最省事。
[解后反思]直線(xiàn)與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件:圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑(2)代數(shù)條件:直線(xiàn)與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來(lái)解.
3.(全國(guó)卷I)從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線(xiàn),則兩切線(xiàn)夾角的余弦值為
A. B. C. D.
解析:圓的圓心為M(1,1),半徑為1,從外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線(xiàn),則點(diǎn)P到圓心M的距離等于,每條切線(xiàn)與PM的夾角的正切值等于,所以?xún)汕芯€(xiàn)夾角的正切值為,該角的余弦值等于,選B.
5.(重慶卷)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2 + 4x+2y+=0相切的直線(xiàn)的方程為
(A)y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x (C)y=3x或y=-x (B) y=3x或y=x
解析:過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)為,與圓相切,則圓心(2,-1)到直線(xiàn)方程的距離等于半徑,則,解得,∴ 切線(xiàn)方程為,選A.
6. (遼寧卷)若直線(xiàn)按向量平移后與圓相切,則c的值為( A )
A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 D.2或-8
7(北京卷)從原點(diǎn)向圓 x2+y2-12y+27=0作兩條切線(xiàn),則該圓夾在兩條切線(xiàn)間的劣弧長(zhǎng)為 (B )
(A)π (B)2π (C)4π (D)6π
8(湖南卷)設(shè)直線(xiàn)和圓相交于點(diǎn)A、B,則弦AB的垂直平分線(xiàn)方程是 .
9.如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,求的最大值、2x-y的最小值
解:(1)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的最大值, 由圖形性質(zhì)可知, 由原點(diǎn)向圓作切線(xiàn),其中切線(xiàn)斜率的最大值即為的最大值
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)為y=kx,即kx-y=0,
由,解得或
(2)x,y滿(mǎn)足,
[典型考例]
[問(wèn)題1]直線(xiàn)的方程與平行、垂直條件
P91 例1
例2.若直線(xiàn)mx+y+2=0與線(xiàn)段AB有交點(diǎn),其中A(-2, 3),B(3,2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
例3.自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線(xiàn)射到x軸上,被x軸反射,其反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)與圓相切,求光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程
解:由已知可得圓C:關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圓C‘的方程為,其圓心C‘(2,-2),則與圓C’相切,
設(shè): y-3=k(x+3), ,
整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或,
所以所求直線(xiàn)方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3),
即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
[問(wèn)題2]圓的方程
例4.P92 例2
例5.(07年湖南文理科試題)如圖,過(guò)拋物線(xiàn)x2=4y的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。(I)設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為,證明: (II)設(shè)直線(xiàn)AB的方程是x-2y+12=0,過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處有共同的切線(xiàn),求圓C的方程.
解:(Ⅰ)依題意,可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為 代入拋物線(xiàn)方程得 ①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x2是方程①的兩根.
所以
由點(diǎn)P(0,m)分有向線(xiàn)段所成的比為,得
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,-m),從而.
所以
(Ⅱ)由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(6,9)、(-4,4).
由 得 所以?huà)佄锞€(xiàn) 在點(diǎn)A處切線(xiàn)的斜率為
設(shè)圓C的方程是則
解之得
所以圓C的方程是 即
例6.一個(gè)圓和已知圓外切,并與直線(xiàn):相切于點(diǎn)M(),求該圓的方程
已知圓方程化為: ,其圓心P(1,0),半徑為1
設(shè)所求圓的圓心為C(a,b), 則半徑為,
因?yàn)閮蓤A外切, ,從而1+ (1)
又所求圓與直線(xiàn):相切于M(),直線(xiàn),于是,
即 (2) 將(2)代入(1)化簡(jiǎn),得a2-4a=0, a=0或a=4
當(dāng)a=0時(shí),,所求圓方程為
當(dāng)a=4時(shí),b=0,所求圓方程為
[問(wèn)題3]直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
例7.P96T8 例8. P96 T9
[問(wèn)題3]綜合與提高
例9: 例3. 2.(廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖5所示).將矩形折疊,使A點(diǎn)落在線(xiàn)段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直線(xiàn)的斜率為k,試寫(xiě)出折痕所在直線(xiàn)的方程;
(Ⅱ)求折痕的長(zhǎng)的最大值.
例10. 23.如圖,過(guò)圓O:x2+y2=4與y軸正半軸交點(diǎn)A作此圓的切線(xiàn),M為上任一點(diǎn),過(guò)M作圓O的另一條切線(xiàn),切點(diǎn)為Q,求△MAQ垂心P的軌跡方程。
[課后訓(xùn)練]
1.(安徽卷)直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn),則的取值范圍是
A. B. C. D.
解:由圓的圓心到直線(xiàn)大于,且,選A。
2.(陜西卷)設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,則a 的值為( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
解析:設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,設(shè)直線(xiàn)方程為,圓心(0,0)道直線(xiàn)的距離等于半徑,∴ ,∴ a 的值±2,選B.
3.(江西卷) “a=b”是“直線(xiàn)”的 (A )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件
4 (重慶卷)圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為 (A )
(A) (x-2)2+y2=5; (B) x2+(y-2)2=5; (C) (x+2)2+(y+2)2=5; (D) x2+(y+2)2=5。
5. (全國(guó)卷I)已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),當(dāng)直線(xiàn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),其斜率k的取值范圍是(B)
(A) (B)
(C) (D)
6.(湖北卷)已知直線(xiàn)與圓相切,則的值為 。
解:圓的方程可化為,所以圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為1,由已知可得
,所以的值為-18或8。
7.(湖北卷)若直線(xiàn)y=kx+2與圓(x-2)2+(y-3)2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k 的取值范圍是 .
解:由直線(xiàn)y=kx+2與圓(x-2)2+(y-3)2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是相交,故圓心到直線(xiàn)的距離小于圓的半徑,即<1,解得kÎ(0,)
8.(上海卷)已知兩條直線(xiàn)若,則____.
解:兩條直線(xiàn)若,,則2.
9.(江蘇卷) 如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線(xiàn)PM、PN(M、N分別為切點(diǎn)),使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程.
解:如圖,以直線(xiàn)為軸,線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則兩圓心分別為.設(shè),則,同理.
∵,
∴,
即,即.這就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
10、當(dāng)0<a<2時(shí),直線(xiàn)L1:ax-2y-2a+4=0與L2:2x+a2y-2a2-4=0和坐標(biāo)軸成一個(gè)四邊形,要使圍成的四邊形面積最小,a應(yīng)取何值?
11.已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線(xiàn)L,使以L(fǎng)被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在,寫(xiě)出直線(xiàn)的方程;若不存在,說(shuō)明理由
解:設(shè)直線(xiàn)L的斜率為1,且L的方程為y=x+b,則 消元得方程2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x1,x2,則x1+x2=-(b+1),y1+y2= x1+x2+2b=b-1,則AB中點(diǎn)為,又弦長(zhǎng)為=,由題意可列式=解得b=1或b=-9,經(jīng)檢驗(yàn)b=-9不合題意.所以所求直線(xiàn)方程為y=x+1
考點(diǎn)透析10答案:
考點(diǎn)小測(cè)答案:
課后練習(xí)答案:
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
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