(1)掌握平面的基本性質(zhì),會(huì)用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系.
(2)掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理.掌握兩條直線所成的角和距離的概念,對(duì)于異面直線的距離,只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離.
(3)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.掌握直線和平面垂直判定定理和性質(zhì)定理.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成角、直線和平面的距離的概念.掌握三垂線定理及其逆定理.
(4)掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.掌握二面角、二面角平面角、兩個(gè)平行平面間的距離概念.掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.
(5)會(huì)用反證法證明簡單的問題.
(6)了解多面體、凸多面體的概念,了解正多面體的概念.
(7)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性質(zhì)
(8)了解棱錐的概念,掌握正棱錐的性質(zhì)
(9)了解球的概念,掌握球的性質(zhì),掌握球的表面積、體積公式.
1..證明直線與直線的平行的思考途徑
(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn);
(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;
(3)轉(zhuǎn)化為線面平行;
(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直;
(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.
2.證明直線與平面的平行的思考途徑
(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn);
(2)轉(zhuǎn)化為線線平行;
(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.
3.證明平面與平面平行的思考途徑
(1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn);
(2)轉(zhuǎn)化為線面平行;
(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.
4.證明直線與直線的垂直的思考途徑
(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直;
(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直;
(3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;
(4)轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.
5.證明直線與平面垂直的思考途徑
(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直;
(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;
(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行;
(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面;
(5)轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面交線垂直.
6.證明平面與平面的垂直的思考途徑
(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角;
(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.
7.三余弦定理
設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線,且BC⊥AC,垂足為C,又設(shè)AO與AB所成的角為,AB與AC所成的角為,AO與AC所成的角為.則.
8. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為,夾角分別為,則有
.
(長方體對(duì)角線長的公式是特例.
9. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、,它們所在平面所成銳二面角的為).
10. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則
①.②.
11.棱錐的平行截面的性質(zhì)
如果棱錐被平行于底面的平面所截,那么所得的截面與底面相似,截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比(對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形,相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方);相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.
12.球的半徑是R,則
其體積,其表面積.
13.球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長.
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長.
(3) 球與正四面體的組合體:
棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,
外接球的半徑為.
14.柱體、錐體的體積
(是柱體的底面積、是柱體的高).
(是錐體的底面積、是錐體的高).
15.經(jīng)緯度及球面距離
⑴根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知,某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角度數(shù),某地的緯度是一個(gè)線面角度數(shù),
⑵兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長,因此,求兩點(diǎn)間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。
16.二面角的求法
(1)定義法:直接在二面角的棱上取一點(diǎn),分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線,得出平面角,;
(2)三垂線法:已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線,用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面與棱垂直;
(4)射影法:利用面積射影公式S射=S原cos,其中為平面角的大小,此方法不必在圖形中畫出平面角;
特別:對(duì)于一類沒有給出棱的二面角,應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面,使之相交出現(xiàn)棱,然后再選用上述方法(尤其要考慮射影法)。
17直線和平面所成的角:
(1)定義:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。
(2)范圍:;(3)求法:作出直線在平面上的射影;(4)斜線與平面所成的角的特征:斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。
18.空間距離的求法
(1)兩異面直線間的距離,高考要求是給出公垂線,一般利用垂直作出公垂線,然后再進(jìn)行計(jì)算;
(2)求點(diǎn)到直線的距離,一般用三垂線定理作出垂線再求解;
(3)求點(diǎn)到平面的距離,
一是用垂面法,借助面面垂直的性質(zhì)來作,因此,確定已知面的垂面是關(guān)鍵;
二是不作出公垂線,轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高,利用等體積法列方程求解;
19。幾個(gè)公式
(1).斜三棱柱的體積其中S表示一個(gè)側(cè)面的面積,表示側(cè)棱到相對(duì)的側(cè)面的距離。該公式對(duì)于解決以知側(cè)棱到相對(duì)側(cè)面距離和該側(cè)面面積求棱柱體積的問題非常有效。
(2)直棱柱剪截體體積巧用
(3)長方體的對(duì)角線長的公式
20.幾個(gè)定理
1.兩直線平行的判定:
(1)公理4:平行于同一直線的兩直線互相平行;(2)線面平行的性質(zhì):如果一條直線和一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行;
(3)面面平行的性質(zhì):如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行;
(4)線面垂直的性質(zhì):如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。
2、直線與平面的位置關(guān)系:
(1)直線在平面內(nèi);
(2)直線與平面相交。其中,如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直。注意:任一條直線并不等同于無數(shù)條直線;(3)直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。
3、直線與平面平行的判定和性質(zhì):
①判定定理:如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行;
②面面平行的性質(zhì):若兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行。
性質(zhì):如果一條直線和一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時(shí),常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面,以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)。
4、直線和平面垂直的判定和性質(zhì):
(1)判定:①如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直。②兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直,那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。
(2)性質(zhì):①如果一條直線和一個(gè)平面垂直,那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。②如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。
5、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì):
(1)判定:一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。
(2)性質(zhì):如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。)
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