直線綜合
1. 直線系
(1)平行直線系(為常數(shù),為參數(shù))
(2)過定點直線系或(,為常數(shù),為參數(shù))
(3)與:平行直線系 (為參數(shù))
(4)與:垂直的直線系:(為參數(shù))
(5)過直線:,:
交點的直線系:(為參數(shù))(不包含)
2. 對稱
P(,)關(guān)于點(,)的對稱點為:Q(,)
P(,)關(guān)于軸的對稱點為Q(,)
P(,)關(guān)于軸的對稱點為Q(,)
P(,)關(guān)于的對稱點為Q(,)
P(,)關(guān)于的對稱點為Q(,)
P(,)關(guān)于的對稱點為Q(,)
P(,)關(guān)于的對稱點為Q(,)
[典型例題]
[例1] 求點A(,4)關(guān)于直線:的對稱點。
解:
設(shè)A關(guān)于的對稱點B(,)
∴ B(,)
[例2] :,:,求關(guān)于對稱的直線的方程。
解:
A(0,1)在點,它關(guān)于的對稱點,B(,)
由兩點式 ∴ :
[例3] 光線通過點P(2,3)在直線上反射,反射線過點Q(1,1),求入射光線、反射光線所在直線方程。
解:
(2,3)點關(guān)于直線的對稱點,(,)
由兩點式: 交點(,)
由兩點式:
[例4] 正中A(1,1),中心M(5,3),求三邊所在直線方程。
解:
∴ AM交于BC于D,M分之比
∴ D=(7,4) ∴ :
設(shè)AB、AC為:
∴
[例5] ABC中,A(9,1),B(3,4),內(nèi)心I(4,1),求C
解:
AI∥軸 ∴ ∴ :
利用三角公式 ∴
∴ : ∴ C(,4)
[例6] 已知中,A(,2)B(6,4)垂心H(5,2),求C
解:
∴ 不存在 ∴
∴ ∴ : C(6,)
[例7] 已知,A(6,3),B(,),C(,)求。
解:
作圖,為BC到HC的角 ∴
∴ ∴
[例8] 中,AB、BC、CA邊的中點為D(,)E(1,3)F(2,0),求三邊所在直線方程。
解:
∴ :即
同理: :
[例9] ,A(,)、B(6,)、C(,),求的角平分線AT所在直線方程。
解:
設(shè)斜率為 CA到AT的角等于AT到AB的角
或(舍,結(jié)合圖形)
∴ :
[例10] 中,A(,)兩條中線所在直線方程為,,求BC邊所在直線方程。
解:
G(,2) G分之比 ∴ D(,5)
設(shè)B(,) ∴ C(,)
∴ 兩點式:
[模擬試題]
1. 直線:,:的交點在第一象限,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
2. 已知,則的最小值為( )
A. 68 B. 69 C. 70 D. 71
3. 過A(2,)與原點距離最遠(yuǎn)的直線方程為( )
A. B.
C. D.
4. 已知A(3,5)B(2,15)在直線:上,找一點P使最小,則最小值為( )
A. 18 B. C. 19 D.
5. 已知,的最小值為( )
A. 1 B. 2 C. D.
6. 兩直線:,和:,當(dāng)(0,2)時,求直線與兩坐標(biāo)軸圍成四邊形面積的最小值。
直線綜合參考答案
[試題答案]
1. B 2. D 3. A 4. B 5. C
6.
解:
交軸于A(0,) 交軸于B(,0)
∴ (0,2)時