直線的傾斜角和斜率、直線方程的點斜式、直線方程的斜截式
[知識點]
1. 直線的方程和方程的直線:
定義:
(1)以一個方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在直線l上。
(2)直線l上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解。
滿足(1)(2)的方程f(x,y)=0是直線l的方程,同時稱直線l為方程f(x,y)=0的直線。
2. 直線的傾斜角:
定義:在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞交點逆時針旋轉與直線重合時,所轉過的最小正角為直線傾斜角。
規(guī)定:當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0°。
范圍:0°≤α<180°
注意:(1)定義分兩部分:一部分是與x軸相交,另一部分與x軸平行。
(2)與x軸相交的定義中,應理解三個地方:①x軸繞交點旋轉;②逆時針方向;③最小正角。
(3)應特別注意傾斜角的范圍[0,π)。
(4)任何一條直線有唯一傾斜角,表示直線的傾斜程度,但傾斜角為α的直線有無窮多條。
3. 直線的斜率:
定義:傾斜角不是90°的直線,其傾斜角的正切,叫做這條直線的斜率。
符號:常用k表示,即k=tanα。
注意:(1)所有直線都有傾斜角,但不是所有直線都有斜率。
調區(qū)間。
(3)當傾斜角為90°時斜率不存在,但直線存在。
4. 過兩點的直線斜率公式:
公式推導:如圖,已知直線l過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),傾斜角為α,求斜率k。
注意:(1)斜率公式與點的順序無關。
(2)由公式可知表示直線傾斜程度,可以由直線上兩點確點,無需求傾斜角。
(3)當x1=x2,y1≠y2時,α=90°沒有斜率。
(4)利用公式求斜率時,應注意隱含條件x1≠x2。
5. 直線的方向向量:
意義:表示直線的方向。
6. 直線方程的點斜式:
(1)方程的推導:略
(3)方程的特殊情況:y=y(tǒng)1
(4)不能用點斜式表示的直線:x=x1
7. 直線方程的斜截式:
(1)方程的推導:(略)
(2)截距的概念:(是坐標不是距離)
(3)方程的形式:y=kx+b
(4)方程的特殊情況:y=0
(5)不能用斜截式表示的直線:x=0
[典型例題]
例1. 已知直線l的斜率k滿足k>-2,求直線l的傾斜角的范圍。
解:設直線l的傾斜角為α
小結:已知直線l的斜率的范圍,求直線l的傾斜角的范圍時,常先畫出函數(shù)的圖象,然后再由圖象確定傾斜角的范圍。
例2.
求直線l的斜率。
解:設直線l的傾斜角為α,由題意知直線AB的傾斜角為2α
小結:由2α的正切值確定α的范圍,及由α的范圍求α的正切值是本例中易忽略的地方,在解同類型題的過程中應當注意。
例3. 求經(jīng)過兩點P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)的直線l的斜率,并且求出l的傾斜角α及其取值范圍。
解:(1)當m=2時,x1=x2=2
小結:利用斜率公式時,應注意公式的應用范圍。當斜率k≥0時,直線的傾斜角為arctank;當k<0時,直線的傾斜角為π+arctank。
例4. 求證:A(1,-1)、B(-2,-7)、C(0,-3)三點共線。
證法一:∵A(1,-1)、B(-2,-7)、C(0,-3)
∴直線AB與直線AC傾角相同且過同一點A
∴直線AB與直線AC為同一條直線
故A、B、C三點共線
證法二:∵A(1,-1)、B(-2,-7)、C(0,-3)
故A、B、C三點共線
小結:解法一是利用了直線上任意兩個不同的點所確定的斜率都應相等這一思想方法。解法二利用了共線向量定理,此法較簡單,此題還有其他一些解法。
例5. 已知兩點A(-3,4)、B(3,2),過點P(2,-1)的直線l與線段AB有公共點。
(1)求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍。
解:如圖所示,因為直線l與線段AB有公共點,所以l的傾斜角介于直線PB與直線PA的傾斜角之間,當l的傾斜角小于90°時,k≥kPB;當l的傾斜角大于90°時,k≤kPA。
(1)∵l與線段AB有公共點
∴k的取值范圍是k≤-1或k≥3。
(2)因為l的傾斜角介于直線PB的傾斜角和直線PA的傾斜角之間,又直線PB的傾斜角是arctan3,直線PA的傾斜角是
例6. 如圖所示,直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3,則( )
(1995年全國高考題)
分析:根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關系判斷。
解:法一根據(jù)直線的斜率k與傾斜角α的關系k=tanα(0≤α<π),由圖可見k2>k3>0>k1,故選D。
例7. 已知直線的傾斜角的取值范圍,利用正切函數(shù)的性質,討論直線斜率及其絕對值的變化情況。
(1)0°<α<90°;(2)90°<α<180°。
分析:本題要討論的問題有兩個:第一,直線斜率的變化情況;第二,直線斜率的絕對值的變化情況。
(2)首先要建立斜率k與傾斜角α之間的關系以及斜率k的絕對值|k|與傾斜角α之間的關系,然后討論變化情況,必要時可先畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象指出直線的斜率及其絕對值的變化情況。
(3)用函數(shù)的性質或圖象知識去討論。
解:當0°<α<90°時,tanα>0
(1)k=tanα,|k|=|tanα|=tanα(0°<α<90°)
∴y=k與y=|k|的圖象相同(如圖所示)
這時,直線的斜率與直線斜率的絕對值相等,且屬于(0,+∞),直線的斜率及其絕對值隨著直線傾斜角的增大而增大。
當90°<α<180°時,k=tanα<0
當0<α<90°時,直線斜率的變化范圍是(0,+∞),隨著傾斜角在開區(qū)間
當90°<α<180°時直線斜率絕對值的變化范圍是(0,+∞),隨著傾斜角在開
于0。
例8. 已知直線經(jīng)過點P(3,2),傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍,求直線l的方程。
解:設直線x-4y+3=0的傾斜角為α
又直線經(jīng)過點P(3,2)
小結:先求出直線x-4y+3=0的傾斜角,然后求出直線l的傾斜角,最后代入點P求出解析式。
例9. 已知直線過點P(-2,3),且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4,求直線的方程。
分析:關鍵是要求出斜率k。
解:顯然,直線l與兩坐標軸不垂直,設直線的方程為y-3=k(x+2)
例10. 如果AC<0,且BC<0,那么直線Ax+By+C=0不通過( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
(1991年全國高考題.文)
答案:C
分析:先求出直線與兩坐標軸的交點,再判斷。
解:法一,由BC<0,知B≠0
因為AC<0,BC<0,所以AB>0
所以直線不通過第三象限,故選C。
法二,取特殊值:A=B=1,C=-1知滿足題設,此時方程為x+y-1=0,由其圖象知,直線不通過第三象限,故選C。
例11.
線方程
解:
∴其傾斜角α=120°
小結:
[模擬試題]
1. 直線的傾斜角是( )
A. B.
C. D.
2. 若直線的斜率為k,并且,則直線l的傾斜角α的范圍是__________。
3. 已知直線l過兩點,則此直線的斜率和傾斜角分別為( )
A. 1,135° B.
C. D. 1,45°
4. 過點,傾斜角為150°的直線的方程是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知直線的方程是,則( )
A. 直線經(jīng)過點(2,),斜率為
B. 直線經(jīng)過點(),斜率為1
C. 直線經(jīng)過點,斜率為
D. 直線經(jīng)過點(),斜率為
6. 直線的斜率為k,在y軸上的截距為b,則有( )
A.
B.
C.
D.
7. 若直線l的傾斜角為α,并且,求直線l的斜率k。
8. 已知某直線的傾斜角α滿足,求該直線的斜率。
9. 已知直線l過點A(2,-1),傾斜角α的范圍是。在直角坐標系中給定兩點,問l與線段MN是否有交點?若有交點,請說明理由。
10. 分別在下列條件下求直線的傾斜角和斜率。
(1)直線l的傾斜角的正弦值為;
(2)直線l的方向向量為。
直線的傾斜角和斜率、直線方程的點斜式、直線方程的斜截式參考答案
[試題答案]
1. 答案:D
解析:把直線寫成
,而
∴直線的傾斜角是
2. 答案:或
解析: ,即
由函數(shù)的圖象及,知l的傾斜角α的范圍是
或
3. 答案:C
解析:
∴直線的傾斜角為135°
4. 答案:D
所求直線的斜率
由點斜式得:
即
故所求直線方程為
5. 答案:C
解析:直線方程可化為
故直線過點(),斜率為
6. 答案:C
解析:直線方程化為斜截式得:
故
7. 解:
即
解之,得:
為所求
8. 解:當時,,該直線的斜率不存在。
當時,
綜上所述,當時,所求直線的斜率不存在;
當時,所求直線的斜率為。
9. 解:l與線段MN有交點
因為,所以直線AM的傾斜角為。
因為,所以直線AN的傾斜角為。
因為l的傾斜角α的范圍是,所以l與線段MN有交點。
10. 分析:(1)由已知條件求出直線的傾斜角,再求直線的斜率。注意到在與內角的正弦值都取正值,因此用反正弦表示角時,應區(qū)分角是銳角還是鈍角。
(2)利用方向向量與x軸所夾的最小正角與l的傾斜角相等求解。
解:(1)設直線l的傾斜角為α,則
當時,
當時,
(2)法一:∵v是l的方向向量
∴v∥l
∴v與x軸所夾的最小正角與l的傾斜角α相等,則
∴l的斜率,傾斜角為
法二:設l的斜率為k,則是l的一個方向向量
由已知是l的一個方向向量
∴u∥v,則
即
∴,傾斜角為
[勵志故事]
沉靜--思考--判斷--成功
從前有位地主巡視谷倉時,不慎將一只名表遺失,因遍尋不獲,便定下賞金,要農場上的小孩幫忙尋找,誰能找到手表,獎金500美元。眾小孩在重賞之下,無不賣力搜尋,奈何谷倉內到處都是成堆的谷粒和稻草,大家忙到太陽下山仍無所獲,結果一個接著一個都放棄了。
只有一個貧窮小孩,為了那筆巨額獎金,仍不死心地尋找。當天色漸黑,眾人離去,雜沓人聲靜下來之后,他突然聽到一個奇怪的聲音。那聲音“滴答、滴答”不停地響著,小孩立刻停下所有的動作,谷倉內更安靜了,滴答聲也響得更為清晰。小孩循著聲音,終于在諾大漆黑的谷倉中找到了那只名貴手表。
“靜坐無所為,春來草自青?!?/p>
惟有讓流水平靜下來,太陽和月亮才能在它的表面上顯現(xiàn)倒影。
當人沉靜下來,才能看出所有干擾清晰思考,蒙蔽真實感情,影響智慧判斷,以及阻礙自己找到答案的問題所在。
在自己的內心保留一處夢想可以停駐的寧靜地方。