1.()函數(shù)y=x2+ (x≤-)的值域是( )
A.(-∞,- B.[-,+∞
C.[,+∞ D.(-∞,-]
2.()函數(shù)y=x+的值域是( )
A.(-∞,1 B.(-∞,-1
C.R D.[1,+∞
3.()一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時勻速直達B市,已知兩地鐵路線長400千米,為了安全,兩列貨車間距離不得小于()2千米 ,那么這批物資全部運到B市,最快需要_________小時(不計貨車的車身長).
4.()設(shè)x1、x2為方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實根,當(dāng)m=_________時,x12+x22有最小值_________.
5.()某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時,固定成本為5000元,而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時直接消耗成本要增加2500元,市場對此商品年需求量為500臺,銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x-x2(萬元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺)
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
(2)年產(chǎn)量多少時,企業(yè)所得的利潤最大?
(3)年產(chǎn)量多少時,企業(yè)才不虧本?
6.()已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]
(1)若f(x)的定義域為(-∞,+∞),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若f(x)的值域為(-∞,+∞),求實數(shù)a的取值范圍.
7.()某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析,決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案,準備每周(按120個工時計算)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺,且冰箱至少生產(chǎn)60臺.已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表:
家電名稱 |
空調(diào)器 |
彩電 |
冰箱 |
工時 |
|
|
|
產(chǎn)值(千元) |
4 |
3 |
2 |
問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺,才能使產(chǎn)值最高?最高產(chǎn)值是多少?(以千元為單位)
8.()在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜邊AB所在直線為軸將△ABC旋轉(zhuǎn)一周生成兩個圓錐,設(shè)這兩個圓錐的側(cè)面積之積為S1,△ABC的內(nèi)切圓面積為S2,記=x.
(1)求函數(shù)f(x)=的解析式并求f(x)的定義域.
08高考數(shù)學(xué)函數(shù)值域及求法測試 函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法,并會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題. ●難點磁場 ()設(shè)m是實數(shù),記M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+). (1)證明:當(dāng)m∈M時,f(x)對所有實數(shù)都有意義;反之,若f(x)對所有實數(shù)x都有意義,則m∈M. (2)當(dāng)m∈M時,求函數(shù)f(x)的最小值. (3)求證:對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1. ●案例探究 [例1]參考答案
(2)求函數(shù)f(x)的最小值.
參考答案
難點磁場
(1)證明:先將f(x)變形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+],
當(dāng)m∈M時,m>1,∴(x-m)2+m+>0恒成立,故f(x)的定義域為R.
反之,若f(x)對所有實數(shù)x都有意義,則只須x2-4mx+4m2+m+>0,令Δ<0,即16m2-4(4m2+m+)<0,解得m>1,故m∈M.
(2)解析:設(shè)u=x2-4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函數(shù),∴當(dāng)u最小時,f(x)最小.而u=(x-2m)2+m+,顯然,當(dāng)x=m時,u取最小值為m+,此時f(2m)=log3(m+)為最小值.
(3)證明:當(dāng)m∈M時,m+=(m-1)+ +1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立.
∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1.
殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析:∵m1=x2在(-∞,-)上是減函數(shù),m2=在(-∞,-)上是減函數(shù),
∴y=x2+在x∈(-∞,-)上為減函數(shù),
∴y=x2+ (x≤-)的值域為[-,+∞.
答案:B
2.解析:令=t(t≥0),則x=.
∵y=+t=- (t-1)2+1≤1
∴值域為(-∞,1.
答案:A
二、3.解析:t=+16×()2/V=+≥2=8.
答案:8
4.解析:由韋達定理知:x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-=(m-)2-,又x1,x2為實根,∴Δ≥0.∴m≤-1或m≥2,y=(m-)2-在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù),在[2,+∞上是增函數(shù)又拋物線y開口向上且以m=為對稱軸.故m=1時,
ymin=.
答案:-1
三、5.解:(1)利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差,由題意,當(dāng)x≤5時,產(chǎn)品能全部售出,當(dāng)x>5時,只能銷售500臺,所以
y=
(2)在0≤x≤5時,y=-x2+4.75x-0.5,當(dāng)x=-=4.75(百臺)時,ymax=10.78125(萬元),當(dāng)x>5(百臺)時,y<12-0.25×5=10.75(萬元),
所以當(dāng)生產(chǎn)475臺時,利潤最大.
(3)要使企業(yè)不虧本,即要求
解得5≥x≥4.75-≈0.1(百臺)或5<x<48(百臺)時,即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺到4800臺之間時,企業(yè)不虧本.
6.解:(1)依題意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立,當(dāng)a2-1≠0時,其充要條件是,
∴a<-1或a>.又a=-1時,f(x)=0滿足題意,a=1時不合題意.故a≤-1或a>為所求.
(2)依題意只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,則f(x)的值域為R,故有,解得1<a≤,又當(dāng)a2-1=0即a=1時,t=2x+1符合題意而a=-1時不合題意,∴1≤a≤為所求.
7.解:設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺,由題意得:
x+y+z=360 ①
②x>0,y>0,z≥60. ③
假定每周總產(chǎn)值為S千元,則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下,為求目標函數(shù)S的最大值,由①②消去z,得y=360-3x. ④
將④代入①得:x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30. ⑥
再將④⑤代入S中,得S=4x+3(360-3x)+2.2x,即S=-x+1080.由條件⑥及上式知,當(dāng)x=30時,產(chǎn)值S最大,最大值為S=-30+1080=1050(千元).得x=30分別代入④和⑤得y=360-90=270,z=2×30=60.
∴每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺,彩電270臺,冰箱60臺,才能使產(chǎn)值最大,最大產(chǎn)值為1050千元.
8.解:(1)如圖所示:設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h=,
∴S1=πah+πbh=,
∴f(x)= ①
又
代入①消c,得f(x)=.
在Rt△ABC中,有a=csinA,b=ccosA(0<A<,則
x==sinA+cosA=sin(A+).∴1<x≤.
(2)f(x)= +6,設(shè)t=x-1,則t∈(0, -1),y=2(t+)+6在(0,-1上是減函數(shù),∴當(dāng)x=(-1)+1=時,f(x)的最小值為6+8.