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5.()某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí),固定成本為5000元,而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元,市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái),銷(xiāo)售的收入函數(shù)為R(x)=5x-x2(萬(wàn)元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺(tái))
(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
(2)年產(chǎn)量多少時(shí),企業(yè)所得的利潤(rùn)最大?
(3)年產(chǎn)量多少時(shí),企業(yè)才不虧本?
(2)求函數(shù)f(x)的最小值.
參考答案
難點(diǎn)磁場(chǎng)
(1)證明:先將f(x)變形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+],
當(dāng)m∈M時(shí),m>1,∴(x-m)2+m+>0恒成立,故f(x)的定義域?yàn)镽.
反之,若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義,則只須x2-4mx+4m2+m+>0,令Δ<0,即16m2-4(4m2+m+)<0,解得m>1,故m∈M.
(2)解析:設(shè)u=x2-4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函數(shù),∴當(dāng)u最小時(shí),f(x)最小.而u=(x-2m)2+m+,顯然,當(dāng)x=m時(shí),u取最小值為m+,此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值.
(3)證明:當(dāng)m∈M時(shí),m+=(m-1)+ +1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立.
∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1.
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析:∵m1=x2在(-∞,-)上是減函數(shù),m2=在(-∞,-)上是減函數(shù),
∴y=x2+在x∈(-∞,-)上為減函數(shù),
∴y=x2+ (x≤-)的值域?yàn)椋郏?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384127_1/image025.gif">,+∞.
答案:B
2.解析:令=t(t≥0),則x=.
∵y=+t=- (t-1)2+1≤1
∴值域?yàn)?-∞,1.
答案:A
二、3.解析:t=+16×()2/V=+≥2=8.
答案:8
4.解析:由韋達(dá)定理知:x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-=(m-)2-,又x1,x2為實(shí)根,∴Δ≥0.∴m≤-1或m≥2,y=(m-)2-在區(qū)間(-∞,1)上是減函數(shù),在[2,+∞上是增函數(shù)又拋物線y開(kāi)口向上且以m=為對(duì)稱軸.故m=1時(shí),
ymin=.
答案:-1
三、5.解:(1)利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差,由題意,當(dāng)x≤5時(shí),產(chǎn)品能全部售出,當(dāng)x>5時(shí),只能銷(xiāo)售500臺(tái),所以
y=
(2)在0≤x≤5時(shí),y=-x2+4.75x-0.5,當(dāng)x=-=4.75(百臺(tái))時(shí),ymax=10.78125(萬(wàn)元),當(dāng)x>5(百臺(tái))時(shí),y<12-0.25×5=10.75(萬(wàn)元),
所以當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí),利潤(rùn)最大.
(3)要使企業(yè)不虧本,即要求
解得5≥x≥4.75-≈0.1(百臺(tái))或5<x<48(百臺(tái))時(shí),即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí),企業(yè)不虧本.
6.解:(1)依題意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0對(duì)一切x∈R恒成立,當(dāng)a2-1≠0時(shí),其充要條件是,
∴a<-1或a>.又a=-1時(shí),f(x)=0滿足題意,a=1時(shí)不合題意.故a≤-1或a>為所求.
(2)依題意只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,則f(x)的值域?yàn)镽,故有,解得1<a≤,又當(dāng)a2-1=0即a=1時(shí),t=2x+1符合題意而a=-1時(shí)不合題意,∴1≤a≤為所求.
7.解:設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái),由題意得:
x+y+z=360 ①
②x>0,y>0,z≥60. ③
假定每周總產(chǎn)值為S千元,則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下,為求目標(biāo)函數(shù)S的最大值,由①②消去z,得y=360-3x. ④
將④代入①得:x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30. ⑥
再將④⑤代入S中,得S=4x+3(360-3x)+2.2x,即S=-x+1080.由條件⑥及上式知,當(dāng)x=30時(shí),產(chǎn)值S最大,最大值為S=-30+1080=1050(千元).得x=30分別代入④和⑤得y=360-90=270,z=2×30=60.
∴每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺(tái),彩電270臺(tái),冰箱60臺(tái),才能使產(chǎn)值最大,最大產(chǎn)值為1050千元.
8.解:(1)如圖所示:設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h=,
∴S1=πah+πbh=,
∴f(x)= ①
又
代入①消c,得f(x)=.
在Rt△ABC中,有a=csinA,b=ccosA(0<A<,則
x==sinA+cosA=sin(A+).∴1<x≤.
(2)f(x)= +6,設(shè)t=x-1,則t∈(0, -1),y=2(t+)+6在(0,-1上是減函數(shù),∴當(dāng)x=(-1)+1=時(shí),f(x)的最小值為6+8.
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