1.函數(shù)的思想,是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決。
2.方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決。方程思想是動中求靜,研究運動中的等量關(guān)系;
3.函數(shù)方程思想的幾種重要形式
(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的,對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y=0時,就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。
(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化,對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0時,就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題,而研究函數(shù)的性質(zhì),也離不開解不等式;
(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要;
(4)函數(shù)f(x)=(1+x)^n (n∈N*)與二項式定理是密切相關(guān)的,利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題;
(5)解析幾何中的許多問題,例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題,需要通過解二元方程組才能解決,涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論;
(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算,經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決。
2 經(jīng)典例題剖析
(根據(jù)近幾年高考命題知識點及熱點做相應(yīng)的試題剖析,要求例題不得少于8個)
1. (湖北卷)關(guān)于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,給出下列四個命題: ①存在實數(shù)k,使得方程恰有2個不同的實根; ?、诖嬖趯崝?shù)k,使得方程恰有4個不同的實根; ?、鄞嬖趯崝?shù)k,使得方程恰有5個不同的實根; ?、艽嬖趯崝?shù)k,使得方程恰有8個不同的實根. 其中假命題的個數(shù)是( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析:本題是關(guān)于函數(shù)、方程解的選擇題,考查換元法及方程根的討論,屬一題多選型試題,要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能力. 思路分析: 1. 根據(jù)題意可令|x2-1|=t(t≥0),則方程化為t2-t+k=0,(*) 作出函數(shù)t=|x2-1|的圖象,結(jié)合函數(shù)的圖象可知①當(dāng)t=0或t>1時,原方程有兩上不等的根,②當(dāng)0<t<1時,原方程有4個根,③當(dāng)t=1時,原方程有3個根. (1)當(dāng)k=-2時,方程(*)有一個正根t=2,相應(yīng)的原方程的解有2個; (2)當(dāng)k=時,方程(*)有兩個相等正根t=,相應(yīng)的原方程的解有4個; (3)當(dāng)k=0時,此時方程(*)有兩個不等根t=0或t=1,故此時原方程有5個根; (4)當(dāng)0<k<時,方程(*)有兩個不等正根,且此時方程(*)有兩正根且均小于1,故相應(yīng)的滿足方程|x2-1|=t的解有8個,故選A. 2. 由函數(shù)f(x)=(x2-1)2-|x2-1|的圖象(如下圖)及動直線g(x)=k可得出答案為A.
3. 設(shè)t=|x2-1|(t≥0),t2-t+k=0,方程的判別式為Δ=1-4k,由k的取值依據(jù)Δ>0、△=0、△<0從而得出解的個數(shù). 4. 設(shè)函數(shù)f(x)=,利用數(shù)軸標(biāo)根法得出函數(shù)與x軸的交點個數(shù)為5個,以及函數(shù)的單調(diào)性大體上畫出函數(shù)的圖象,從而得出答案A.
答案:A
點評:思路1、思路2、思路4都是利用函數(shù)圖象求解,但研究的目標(biāo)函數(shù)有別,思路2利用函數(shù)的奇偶性以及交軌法直觀求解,很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,是數(shù)形結(jié)合法中值得肯定的一種方法;思路3利用方程的根的個數(shù)問題去求解,但討論較為復(fù)雜,又是我們的弱點,有利于培養(yǎng)我們思維的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、邏輯推理能力等基本素質(zhì).
2. (廣東卷)已知等差數(shù)列共有10項,其中奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差是( ). A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
解析:設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d據(jù)題意得:
答案:C
點評:運用等差、等比數(shù)列的基本量(a1,d,q)列方程,方程組是求解數(shù)列基本問題的通法.
3. (安徽卷)已知<α<π,tanα+cotα=-. (1)求tanα的值; (2)求的值.
解析:(1)由tanα+cotα=-得3tan2α+10tanα+3=0,即tanα=-3或tanα=-, 又<α<π,所以tanα=-=為所求.
專題十:高考數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想復(fù)習(xí) 1 考點回顧 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面:一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題:二是在問題的研究中,通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),達到化難為易,化繁為簡的目的。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想,也是歷年高考的重點。參考答案
答案:
點評:第(1)問是對方程思想方法靈活考查,能否把條件tanα+cotα=-變形為關(guān)于tanα的一元二次方程,取決于解題的目標(biāo)意識和是否對方程思想方法的深刻把握和理解.
4. (江西卷)若不等式x2+ax+1≥0對于一切x∈(0,]成立,則a的最小值是( ). A. 0 B. -2 C. - D. -3
解析:與x2+ax+1≥0在R上恒成立相比,本題的難度有所增加. 思路分析: 1. 分離變量,有a≥-(x+),x∈(0,]恒成立.右端的最大值為-,故選C. 2. 看成關(guān)于a的不等式,由f(0)≥0,且f()≥0可求得a的范圍. 3. 設(shè)f(x)=x2+ax+1,結(jié)合二次函數(shù)圖象,分對稱軸在區(qū)間的內(nèi)外三種情況進行討論. 4. f(x)=x2+1,g(x)=-ax,則結(jié)合圖形(象)知原問題等價于f()≥g(),即a≥-. 5. 利用選項,代入檢驗,D不成立,而C成立.故選C.
答案:C
點評:思路1-4具有函數(shù)觀點,可謂高屋建瓴.思路5又充分利用了題型特點.
5. (全國卷Ⅱ)已知拋物線x2=4y的焦點為F,A、B是拋物線上的兩動點,且(λ>0).過A、B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為M. (1)證明為定值; (2)設(shè)△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達式,并求S的最小值.
解:(1)證明:由已知條件,得F(0,1),λ>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由,得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1), 即將①式兩邊平方并把代入得 ③ 解②、③式得y1=λ,y2=,且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4,拋物線方程為y=x2,求導(dǎo)得y′=x.所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是y=x1(x-x1)+y1,y=x2(x-x2)+y2, 即. 解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為, 所以= .
所以為定值,其值為0. (2)由(1)知在△ABM中,F(xiàn)M⊥AB,因而S=|AB| |FM|. |FM|==
===. 因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=-1的距離,所以|AB|=|AF|+|BF|=y(tǒng)1+y2+2=λ++2=()2. 于是S=|AB| |FM|=()3由≥2知S≥4,且當(dāng)λ=1時,S取得最小值4.
點評:在解析幾何中考查三角形面積最值問題是高考的重點和熱點,求解的關(guān)鍵是建立面積的目標(biāo)函數(shù),再求函數(shù)最值,至于如何求最值應(yīng)視函數(shù)式的特點而定,本題是用均值定理求最值的.
6. 設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f′(x).g(x)+f(x).g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( ). A. (-3,0)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0,3)
C. (-∞,-3)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3)
解析:以函數(shù)為中心,考查通性通法,設(shè)F(x)=f(x)g(x),由f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以 F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),
即F(x)為奇函數(shù).又當(dāng)x<0時,
F′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,
所以x<0時,F(xiàn)(x)為增函數(shù).
因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,所以x>0時,F(xiàn)(x)也為增函數(shù).
因為F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).
如上圖,是一個符合題意的圖象,觀察知不等式F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3),所以選D.
答案:D
點評:善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵.題中就是構(gòu)建函數(shù)F(x)=f(x)g(x),再根據(jù)題意明確該函數(shù)的性質(zhì),然后由不等式解集與函數(shù)圖象間的關(guān)系使問題獲得解決的.
7. 函數(shù)f(x)是定義在[0,1]上的增函數(shù),滿足f(x)=2f()且f(1)=1,在每一個區(qū)間(](i=1,2……)上,y=f(x)的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分.
(1) 求f(0)及f(),f()的值,并歸納出f()(i=1,2,……)的表達式;
(2)設(shè)直線x=,x=,x軸及y=f(x)的圖象圍成的梯形的面積為ai(i=1,2,……),記S(k)=(a1+a2+…an),求S(k)的表達式,并寫出其定義域和最小值.
解析:以函數(shù)為細節(jié),注重命題結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)化,(1)由f(0)=2f(0),得f(0)=0.
由f(1)=2f()及f(1)=1,得
f()=f(1)=.
同理,f()=f()=.
歸納得f()=(i=1,2,……).
(2)當(dāng)<x≤=時,
所以{an}是首項為(1-),公比為的等比數(shù)列,所以 .
S(k)的定義域為{k|0<k≤1},當(dāng)k=1時取得最小值.
點評:高考命題尋求知識網(wǎng)絡(luò)化已是大勢所趨,而函數(shù)是把各章知識組合在一起的最好的“粘合劑”.高考試題注重知識的聯(lián)系,新而不偏,活而不怪.這樣的導(dǎo)向,就要求在學(xué)習(xí)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識、方法的運用,注意培養(yǎng)我們用聯(lián)系的觀點去思考問題的習(xí)慣.
8. 對任意實數(shù)k,直線:y=kx+b與橢圓:(0≤θ<2π)恒有公共點,則b取值范圍是 .
解析:方法1,橢圓方程為,將直線方程y=kx+b代入橢圓方程并整理得 .
由直線與橢圓恒有公共點得
化簡得
由題意知對任意實數(shù)k,該式恒成立,
則Δ′=12(b-1)2-4[16-(b-1)2]≤0,
即-1≤b≤3
方法2,已知橢圓與y軸交于兩點(0,-1),(0,3). 對任意實數(shù)k,直線:y=kx+b與橢圓恒有公共點,則(0,b)在橢圓內(nèi)(包括橢圓圓周)即有≤1,得-1≤b≤3.
點評:方法1是運用方程的思想解題,這是解析幾何變幾何問題為代數(shù)問題的方法.方法2運用數(shù)形結(jié)合的思想解題,是相應(yīng)的變代數(shù)問題為幾何問題的方法.高考試題中設(shè)置一題多解的試題就是為了考查學(xué)生思維的深度和靈活運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力.評判出能力與素養(yǎng)上的差異.
3 方法總結(jié)與2008年高考預(yù)測
(一)方法總結(jié)
1.函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系,反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律。函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非數(shù)學(xué)特征,用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立函數(shù)關(guān)系;
2.在解決某些數(shù)字問題時,先設(shè)定一些未知數(shù),然后把它們當(dāng)作已知數(shù),根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約,列出等式,所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系,這就是方程的思想;
3.函數(shù)與方程是兩個不同的概念,但它們之間有著密切的聯(lián)系,一個函數(shù)若有解析表達式,那么這個表達式就可看成是一個方程.一個二元方程,兩個變量存在著對應(yīng)關(guān)系,如果這個對應(yīng)關(guān)系是函數(shù),那么這個方程可以看成是一個函數(shù),一個一元方程,它的兩端可以分別看成函數(shù),方程的解即為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo),因此,許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決;反之,許多有關(guān)函數(shù)的問題則可以用方程的方法解決.
總之,在復(fù)習(xí)中要注意領(lǐng)悟蘊含在知識和解題過程中函數(shù)和方程的思想,用它來指導(dǎo)解題。在解題中,同時要注意從不同的角度去觀察探索,尋求多種方法,從而得到最佳解題方案。
(二)2008年高考預(yù)測
1. 縱觀近幾年的高考試題,函數(shù)的主干知識、知識的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的考查,一直是高考的重點內(nèi)容之一。在高考試卷上,與函數(shù)相關(guān)的試題所占比例始終在20%左右,且試題中既有靈活多變的客觀性試題,又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想,高考中所占比重比較大,綜合知識多、題型多、應(yīng)用技巧多。在高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)中,還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容,可見其重要所在。
2. 在近幾年的高考中,函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等,方程觀點的應(yīng)用可分為逐步提高的四個層次:(1)解方程;(2)含參數(shù)方程討論;(3)轉(zhuǎn)化為對方程的研究,如直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系,函數(shù)的性質(zhì),集合關(guān)系;(4)構(gòu)造方程求解。
3. 預(yù)測2008年高考對本講考查趨勢:函數(shù)的零點問題、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關(guān)系;特別注意客觀形題目,大題一般難度略大。
4 強化訓(xùn)練
5 選擇題
1. 已知函數(shù)f(x)=loga[-(2a)x]對任意x∈[,+∞]都有意義,則實數(shù)a的取值范圍是( ). A. (0,] B. (0,) C. [,1) D. (,) 2. 函數(shù)f(x)定義域為R,且x≠1,已知f(x+1)為奇函數(shù),當(dāng)x<1時,f(x)=2x2-x+1,那么當(dāng)x>1時,f (x)的遞減區(qū)間為( ). A. [,+∞) B. (1,]
C. [,+∞) D. (1,] 3. 已知f(x)=asinx+b+4(a,b∈R),且f(lglog310)=5,則f(lglg3)的值是( ). A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 4. 設(shè)P(x,y)是橢圓x2+4y2=4上的一個動點,定點M(1,0),則|PM|2的最大值是( ). A. B. 1 C. 3 D. 9 5. 已知x、y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,那么( ). A. x+y<0 B. x+y>0 C. xy<0 D. xy>0 6. 已知=1(a,b,c∈R),則有( ). A. b2>4ac B. b2≥4ac C. b2<4ac D. b2≤4ac 7. 對任意非負(fù)實數(shù)x,不等式( - ).≤a恒成立,則實數(shù)a的最小值是( ). A. B. 2 C. D. 8. 三棱錐S-ABC中,對棱SA與BC互相垂直,二面角S-BC-A的平面角為60°,SA=,△SBC的面積為2+,△ABC的面積為1,則三棱錐S-ABC的體積為( ). A. 6 B. 4 C. D.
9. (重慶卷)與向量a=(,),b=(,-)的夾角相等,且模為1的向量是( ). A. B. C. D.
10. (安徽卷)設(shè)a>0,對于函數(shù)f(x)=(0<x<π),下列結(jié)論正確的是( ).
A. 有最大值而無最小值 B. 有最小值而無最大值 C. 有最大值且有最小值 D. 既無最大值又無最小值
11. 方程lgx+x=3的解所在的區(qū)間為_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
12. f(x) 定義在R上的函數(shù),f(x+1)=- ,當(dāng)x∈[-2,-1]時,f(x)=x,則f(-3.5)為
A.-0.5 B.-1.5 C.1.5 D.-3.5
2 填空題
13. 如果y=1-sin2x-mcosx的最小值為-4,則m的值為 .
14. 關(guān)于x的不等式2.32x-3x+a2-a-3>0,當(dāng)0≤x≤1時恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 .
15. 設(shè)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=ex+1,則f(x)= .
16. 已知矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,現(xiàn)有以下五個數(shù)據(jù): (1)a=; (2)a=1; (3)a=; (4)a=2; (5)a=4當(dāng)在BC邊上存在點Q,使PQ⊥QD時,則a可以取 .(填上一個正確的數(shù)據(jù)序號即可)
3 解答題
17. 設(shè)集合A={x|4x-2x+2+a=0,x∈R}.
(1)若A中僅有一個元素,求實數(shù)a的取值集合B;
(2)若對于任意a∈B,不等式x2-6x<a(x-2)恒成立,求x的取值范圍.
18. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在實數(shù)m,n(m<n),使f(x)定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出m、n的值;如果不存在,說明理由. 19. 已知函數(shù)f(x)=6x-6x2,設(shè)函數(shù)g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],…… (1)求證:如果存在一個實數(shù)x0,滿足g1(x0)=x0,那么對一切n∈N,gn(x0)=x0都成立;
(2)若實數(shù)x0滿足gn(x0)=x0,則稱x0為穩(wěn)定不動點,試求出所有穩(wěn)定不動點; (3)設(shè)區(qū)間A=(-∞,0),對于x∈A,有g(shù)1(x)=f(x)=a<0,g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0,且n≥2時,gn(x)<0.試問是否存在區(qū)間B(A∩B≠Φ),對于區(qū)間內(nèi)任意實數(shù) x,只要n≥2,n∈N,都有g(shù)n(x)<0. 20. 已知函數(shù)f(x)=-(a>0,x>0). (1)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù); (2)若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍; (3)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求a的取值范圍. 21. 已知數(shù)列{an}各項都是正數(shù),且滿足a0=1,an+1=an(4-an),n∈N.證明:an<an+1<2,n∈N. 22. 給定拋物線C∶y2=4x,F(xiàn)是C的焦點,過點F的直線l與C相交于A,B兩點. (1)設(shè)l的斜率為1,求與的夾角的大??; (2)設(shè)=,若λ∈[4,9],求l在y軸上的截距的變化范圍.
4 創(chuàng)新試題
23. 若(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(x∈R),則(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)= (用數(shù)字作答).
24. 設(shè)函數(shù)f(x)=-(x∈R),區(qū)間M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},則使M=N成立的實數(shù)對(a,b)有( ). A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 無數(shù)多個
解析答案:
1. 解:考查函數(shù)y1=和y2=(2a)x的圖象,顯然有0<2a<1.由題意得a=,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得答案.答案:B. 2. 解:由題意可得f(-x+1)=-f(x+1).令t=-x+1,則x=1-t,故f(t)=-f(2-t)=-f(2-x). 當(dāng)x>1,2-x<1,于是有f(x)=-f(2-x)=-2(x-)2 - ,其遞減區(qū)間為[,+∞).答案:C 3. 解:因為f(x)-4是奇函數(shù),故f(-x)-4=-[f(x)-4],即f(-x)=-f(x)+8,而lglg3=-lglg310,∴ f(lglg3)=f(-lglg310)=-(lglg310)+8=-5+8=3. 故選C. 4. 解:= .
注意到-2≤x≤2. ∴ 當(dāng)x=-2時,|PM|2max=9.故選D. 5. 解:已知不等式的兩邊都含有x、y兩個變量,而我們目前只學(xué)習(xí)一元函數(shù),為此先把它化歸成等價形 式2x-3-x>2-y-3y,使它的兩邊都只含一個變量,于是可以構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=2x-3-x.因函數(shù)g(x)=2x是R上的增函數(shù),h(x)=3-x=()x是R上的減函數(shù),所以,=-3-x是R上的增函數(shù),因此,f(x)=2x-3-x是R上的增函數(shù). 又由2x-3-x>2-y-3 -(-y),即f(x)>f(-y). ∴ x>-y,即x+y>0.故選B. 6. 解法1:依題設(shè)有a.5-b.+c=0. ∴ 是實系數(shù)一元二次方程ax2-bx+c=0的一個實根. ∴ Δ=b2-4ac≥0.∴ b2≥4ac.故選B. 解法2:其實本題也可用消元的思想求解. 依題設(shè)得,b= . ∴ b2-4ac=()2-4ac ?。?a2+c2-2ac≥2ac-2ac=0.故選B. 7. 解:問題a≥對x≥0恒成立. 記f(x)=(x≥0).則問題a≥f(x)max. 當(dāng)x=0時,f(x)=0; 當(dāng)x>0時,f(x)=,顯然f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). ∴ 0<f(x)<. . 故a≥.即a的最小值為,故選A. 8. 解:過S作SH⊥底面ABC,H為垂足,連接AH并延長交BC于D,再連接SD(如圖).
∵ SH⊥底面ABC,HD是斜線SA在底面ABC內(nèi)的射影,
又SA⊥BC,∴ AD⊥BC, ∴ SD⊥BC,因此∠SDA就是二面角S-BC-A的平面角,即∠SDA=60°. 設(shè)SD=x,則S△SBC=BC.x=2+, ① 又S△ABC=BC.AD=1. ② 由②÷①,即可解得AD=(2-)x. 在△SAD中,SA=,∠SDA=60°,由余弦定理得關(guān)于x的方程. ()2=x2+[(2-)x]2-2x.(2-)x.,解得x= . 于是,在Rt△SHD中,SH=SD.sin60°=, ∴ VS-ABC=S△ABC.SH=.故選C.
9. 解析:本題涉及單位向量、共線向量、向量的夾角等知識,解題的入口較寬,可從方程、解析幾何、復(fù)數(shù)及向量運算的幾何意義等角度入手,對訓(xùn)練我們思維的廣闊性有幫助. 思路分析: 1. 設(shè)所求向量為(x,y),則由向量模的定義與夾角公式可得解得該方程組可知答案為B. 2. 設(shè)=a,=b,則可借助直線的夾角公式求得∠AOB的平分線所在直線方程為y=-x,再由=1可知答案為B. 3. 在復(fù)平面上,向量a,b分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)z1=+i,z2=-i,因為z1=z2.i,故所求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2.或,化簡后可知答案選B. 4. 容易知道符合題意的向量有兩個,所以先排除選項A和選項C,由于a,b的模相等,故所求向量應(yīng)與a+b=(4,-3)共線,從而答案選B.
答案:B
點評:思路1運用了方程思想;思路2用的是解析幾何知識;思路3借助了復(fù)數(shù)運算;思路4最為巧妙,采用了特征分析法并靈活運用了向量運算的幾何意義.
10. 解析:令t=sinx,t∈(0,1],則函數(shù)f(x)=(0<x<π)的值域為函數(shù)y=1+,t∈(0,1]是一個減函數(shù),
答案:B
點評:本題將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)的值域問題,既考查了等價轉(zhuǎn)化的思想方法,又考查了用函數(shù)思想解決問題的能力.
11. 圖像法解方程,也可代入各區(qū)間的一個數(shù)(特值法或代入法),選C
12. B 13. 解:原式化為 . 當(dāng), 當(dāng)-1≤≤1時,ymin==-4m=±4 不符, 當(dāng)>1,ymin=1-m=-4m=5.答案:±5. 14. 解:設(shè)t=3x,則t∈[1,3],原不等式可化為a2-a-3>-2t2+t,t∈[1,3].等價于a2-a-3大于f (t)=-2t2+t在[1,3]上的最大值. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞). 15. 答案:f(x)=, 提示:構(gòu)造f(x)與g(x)的方程組.
16. (1)或(2). 17. (1)令2x=t(t>0),設(shè)f(t)=t2-4t+a. 由f(t)=0,在(0,+∞)有且僅有一根或兩相等實根,則有 ①f(t)=0有兩等根時,Δ=016-4a=0a=4; 驗證:t2-4t+4=0t=2∈(0,+∞),這時x=1; ?、趂(t)=0有一正根和一負(fù)根時,f(0)<0a<0; ?、廴鬴(0)=0,則a=0,此時4x-4.2x=02x=0(舍去),或2x=4,∴ x=2,即A中只有一個元素2; 綜上所述,a≤0或a=4,即B={a|a≤0或a=4}. (2)要使原不等式對任意a∈(-∞,0]∪{4}恒成立.即g(a)=(x-2)a-(x2-6x)>0恒成立.只須x-2≤0g5-<x≤2. 18. 解:(1)∵ 方程ax2+bx=2x有等根, ∴ Δ=(b-2)2=0,得b=2. 由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=-=1得a=-1,故f(x)=-x2+2x. (2)f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴ 4n≤1,即n≤. 而拋物線y=-x2+2x的對稱軸為x=1. ∴ n≤時,f(x)在[m,n]上為增函數(shù). 若滿足題設(shè)條件的m,n存在,則 又m<n≤,∴ m=-2,n=0. 19.(1)證明:當(dāng)n=1時,g1(x0)=x0顯然成立; 假設(shè)n=k時,有g(shù)k(x0)=x0(k∈N)成立, 則gk+1(x0)=f[gk(x0)]=f(x0)=g1(x0)=x0, 即n=k+1時,命題成立. ∴ 對一切n∈N,若g1(x0)=x0,則gn(x0)=x0. (2)解:由(1)知,穩(wěn)定不動點x0只需滿足 f(x0)=x0.由f(x0)=x0,得6x0-=x0, ∴ x0=0或x0=. ∴ 穩(wěn)定不動點為0和. (3)解:∵ f(x)<0,得6x-6x2<0x<0或x>1. ∴ gn(x)<0f[gn-1(x)]<0gn-1(x)<0或gn-1(x)>1. 要使一切n∈N,n≥2,都有g(shù)n(x)<0,必須有g(shù)1(x)<0或g1(x)>1. 由g1(x)>06x-6x2>1<x<.故對于區(qū)間(,)和(1,+∞)內(nèi)的任意實數(shù)x,只要n≥2,n∈N,都有g(shù)n(x)<0. 20. (1)證明:任取x1>x2>0, f(x1)-f(x2)=, 故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). (2)解:∵ ≤2x在(0,+∞)上恒成立,且a>0,∴ a≥在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=(當(dāng)且僅當(dāng)2x=即x=時取等號),要使a≥(0,+∞)上恒成立,則a≥,故a的取值范圍是[,+∞). (3)解:由(1)f(x)在定義域上是增函數(shù). ∴ m=f(m),n=f(n),即m2-m+1=0,n2-n+1=0.故方程x2-x+1=0有兩個不相等的正根m,n,注意到m.n=1,則只需要Δ=()2-4>0,由于a>0,則0<a<. 21. 這是一個以遞推公式為背景的數(shù)列不等式,但是把遞推公式看作一個函數(shù),就可以獲得一種很簡單的解法. 解:方法1:把an+1=an(4-an),n∈N.看作一個函數(shù)f(x)=x(4-x),由此啟發(fā)得ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]=-(ak-2)2+2<2. 于是ak<2,又因為ak+1-ak=-+2ak-ak=-ak(ak-2)>0,所以ak+1>ak,所以有an<an+1<2,n∈N; 方法2:用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1°當(dāng)n=1時,a0=1,a1=a0(4-a0)=, ∴ 0<a0<a1<2; 2°假設(shè)n=k時有ak-1<ak<2成立, 令f(x)=x(4-x),f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增, 所以由假設(shè)有:f(ak-1)<f(ak)<f(2), 即ak-1(4-ak-1)<ak(4-ak)<×2×(4-2), 即當(dāng)n=k+1時ak<ak+1<2成立, 所以對一切n∈N,有ak<ak+1<2. 22. 解:(1)C的焦點為F(1,0),直線l的斜率為1,所以l的方程為y=x-1. 將y=x-1代入方程y2=4x, 整理得x2-6x+1=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=6,x1x2=1. . 所以與的夾角的大小為π-arccos. (2)由題設(shè)得(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1), 即 由②得 ∴ , ③ 聯(lián)立①、③解得x2=λ,依題意有λ>0. ∴ B(λ,),或B(λ,-),又F(1,0),得直線l方程為(λ-1)y=(x-1)或(λ-1)y=-(x-1), 當(dāng)λ∈[4,9]時,l在方程y軸上的截距為或-,把看作函數(shù),設(shè)g(λ)=,λ∈[4,9],,可知g(λ)=在[4,9]上是遞減的(或用導(dǎo)數(shù)g′(λ)=-<0,證明g(λ)是減函數(shù)). ∴ , 即直線l在y軸上截距的變化范圍為 .
23. 解析:以函數(shù)為發(fā)散點,各種數(shù)學(xué)思想和方法綜合運用,令x=0,得a0=1,令x=1得a0+a1+a2+…+a2004=1, 所以a1+a2+…+a2004=0. (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)=2004a0+(a1+a2+…+a2004)=2004. 點評:此題推陳出新考查二項式定理,可應(yīng)用二項展開式定理展開求出a1,a2,…然后求和去做,但運算量大,十分麻煩,且易出錯.如果用函數(shù)思想和整體性思想看問題,視(1-2x)2004為以x為自變量的一元多項式函數(shù)f(x),把離散的問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的問題,利用賦特殊值法,可以使問題的解法變得十分巧妙.
24. 解析:以函數(shù)為載體,考查綜合推理和創(chuàng)新能力函數(shù)
f(x)= - 圖象如下圖所示, y=f(x)在R上是連續(xù)單調(diào)遞減函數(shù). N={y|y=f(x),x∈M}表示函數(shù)定義域為M=[a,b]時其值域為N.由M=N得解得a=b=0,這與a<b矛盾,所以選A.
答案:A
點評:本題考查了函數(shù)的解析式、單調(diào)性和函數(shù)的定義域、值域與集合等知識.解題過程是由定義域與值域相等的特性建立方程,考查方程的思想和創(chuàng)新能力.
五、復(fù)習(xí)建議
1. 以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù),提高復(fù)習(xí)效率, 切實重視基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的復(fù)習(xí).
2. 加強“通性通法”訓(xùn)練,綜合提高解題能力,逐漸形成自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解題的意識。
3. 以思維能力為核心,培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力.
4. 重視反思,盡量減少失誤.
5. 注意學(xué)生個性品質(zhì)的培養(yǎng)。 通過綜合檢測與模擬考試,讓學(xué)生形成審慎思維的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和良好的心理品質(zhì),距離高考越來越近,學(xué)生的思想壓力和心理壓力更大,要讓他們以實事求是的科學(xué)態(tài)度,克服過分的緊張情緒,樹立戰(zhàn)勝困難的信心,使學(xué)生在任何情況下都能正確地面對困難、迎接挑戰(zhàn)。