1.()已知A、B、C三點在曲線y=上,其橫坐標依次為1,m,4(1<m<4),當△ABC的面積最大時,m等于( )
A.3 B. C. D.
2.()設(shè)u,v∈R,且|u|≤,v>0,則(u-v)2+()2的最小值為( )
A.4 B.2 C.8 D.2
3.()A是橢圓長軸的一個端點,O是橢圓的中心,若橢圓上存在一點P,使
∠OPA=,則橢圓離心率的范圍是_________.
4.()一輛卡車高3米,寬1.6米,欲通過拋物線形隧道,拱口寬恰好是拋物線的通徑長,若拱口寬為a米,則能使卡車通過的a的最小整數(shù)值是_________.
5.()已知拋物線y=x2-1上一定點B(-1,0)和兩個動點P、Q,當P在拋物線上運動時,BP⊥PQ,則Q點的橫坐標的取值范圍是_________.
6.()已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點,若另一條直線l經(jīng)過點P(-2,0)及線段AB的中點Q,求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.
7.()已知拋物線C:y2=4x.
(1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線C的焦點F及準線l分別重合,試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程;
(2)若M(m,0)是x軸上的一定點,Q是(1)所求軌跡上任一點,試問|MQ|有無最小值?若有,求出其值;若沒有,說明理由.
8.()如圖,為半圓,AB為半圓直徑,O為半圓圓心,且OD⊥AB,Q為線段OD的中點,已知|AB|=4,曲線C過Q點,動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,求曲線C的方程;
(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N,且M在D、N之間,設(shè)=λ,求λ的取值范圍.
[學法指導]怎樣學好圓錐曲線
圓錐曲線將幾何與代數(shù)進行了完美結(jié)合.借助純代數(shù)的解決手段研究曲線的概念和性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,從數(shù)學家笛卡爾開創(chuàng)了坐標系那天就已經(jīng)開始.
高考中它依然是重點,主客觀題必不可少,易、中、難題皆有.為此需要我們做到:
1.重點掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì).這些都是圓錐曲線的基石,高考中的題目都涉及到這些內(nèi)容.
2.重視求曲線的方程或曲線的軌跡,此處作為高考解答題的命題對象難度較大.所以要掌握住一般方法:定義法、直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、參數(shù)法等.
3.加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復習.此處一直為高考的熱點.這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題,因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決.這樣加強了對數(shù)學各種能力的考查.
4.重視對數(shù)學思想、方法進行歸納提煉,達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程.
(1)方程思想
解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線,因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理,就簡化解題運算量.
(2)用好函數(shù)思想方法
對于圓錐曲線上的一些動點,在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量,從而使一些線的長度及a,b,c,e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效.
(3)掌握坐標法
坐標法是解決有關(guān)圓錐曲線問題的基本方法.近幾年都考查了坐標法,因此要加強坐標法的訓練.
難點25 圓錐曲線綜合題 圓錐曲線的綜合問題包括:解析法的應用,與圓錐曲線有關(guān)的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應用題和探索性問題,圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系,圓錐曲線知識和三角、復數(shù)等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系,解答這部分試題,需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認識能力,要能準確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算,推理轉(zhuǎn)換,并在運算過程中注意思維的嚴密性,以保證結(jié)果的完整. ●難點磁場 ()若橢圓=1(a>b>0)與直線l:x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點,求a、b所滿足的條件,并畫出點P(a,b)的存在區(qū)域. 參考答案
參考答案
難點磁場
解:由方程組消去y,整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 ①
則橢圓與直線l在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點的充要條件是方程①在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩相異實根,令f(x)=(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2),則有
同時滿足上述四個條件的點P(a,b)的存在區(qū)域為下圖所示的陰影部分:
殲滅難點訓練
一、1.解析:由題意知A(1,1),B(m,),C(4,2).
直線AC所在方程為x-3y+2=0,
點B到該直線的距離為d=.
∵m∈(1,4),∴當時,S△ABC有最大值,此時m=.
答案:B
2.解析:考慮式子的幾何意義,轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離的最小值.
答案:C
二、3.解析:設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),以OA為直徑的圓:x2-ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2-ax+b2=0.即e2x2-ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達定理x2=-a,0<x2<a,即0<-a<a<e<1.
答案:<e<1
4.解析:由題意可設(shè)拋物線方程為x2=-ay,當x=時,y=-;當x=0.8時,y=-.由題意知≥3,即a2-12a-2.56≥0.解得a的最小整數(shù)為13.
答案:13
5.解析:設(shè)P(t,t2-1),Q(s,s2-1)
∵BP⊥PQ,∴=-1,
即t2+(s-1)t-s+1=0
∵t∈R,∴必須有Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0.即s2+2s-3≥0,
解得s≤-3或s≥1.
答案:(-∞,-3∪1,+∞)
三、6.解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由,得(1-k2)x2+2kx-2=0,
又∵直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點,
故有
解得-<k<-1
7.解:由拋物線y2=4x,得焦點F(1,0),準線l:x=-1.
(1)設(shè)P(x,y),則B(2x-1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設(shè)點B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x-2)2+(2y)2=2x(2x-2),化簡得P點軌跡方程為y2=x-1(x>1).
(2)設(shè)Q(x,y),則|MQ|=
(ⅰ)當m-≤1,即m≤時,函數(shù)t=[x-(m-)2]+m-在(1,+∞)上遞增,故t無最小值,亦即|MQ|無最小值.
(ⅱ)當m->1,即m>時,函數(shù)t=[x2-(m-)2]+m-在x=m-處有最小值m-,∴|MQ|min=.
8.解:(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸,O為原點,建立平面直角坐標系,
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.
∴曲線C為以原點為中心,A、B為焦點的橢圓.
設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲線C的方程為+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>.由圖可知=λ
由韋達定理得
將x1=λx2代入得
兩式相除得
①
M在D、N中間,∴λ<1 ②
又∵當k不存在時,顯然λ= (此時直線l與y軸重合).