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1.若,則下列不等式 ①;②;③;④中,正確的不等式有 ( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(理)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.
題號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
答案 |
B |
A |
C |
A |
D |
D |
C |
B |
C |
A |
D |
B |
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13.-4; 14.; 15.9; 16..
三、解答題:6小題,共74分;應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 .
17.(12分)解:
…3分
……………………6分
(1)由x + ∈[-,+](k∈Z)得
x∈[-,+](k∈Z)
∵ ∴
∴ 函數(shù)y = f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是
[-,-)∪ ( -,+](k∈Z).…9分
(2)當(dāng)x∈[0,]時(shí),x + ∈[, ]
∴當(dāng)x + = 時(shí),函數(shù)y = f(x)取得最小值為
∴由已知得=, ∴ a = ±1 .…………………………12分
18.(12分)解:原不等式可化為-a < 1- < a ……………………………2分
即 ……………………………4分
∵ a >0 ∴1+ a >0 ……………………………5分
①當(dāng)1-a > 0即0< a <1時(shí), < x < ; …………………………7分
②當(dāng)1-a = 0即a =1時(shí),原不等式可化為2x-1 > 0, ∴x > ?。弧?分
③當(dāng)1-a < 0即a >1時(shí),等價(jià)于或
∴ x > 或 x < …………………………………………………11分
綜上,當(dāng)a >1時(shí),原不等式的解集為{x | x > 或x < };
當(dāng)a =1時(shí),原不等式的解集為{x | x >};
當(dāng)0< a <1時(shí),原不等式的解集為{ x | < x < }.……………12分
19.(12分)解:(1)∵a n+1 = f(a n) ∴
∴
又 ∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.…………5分
(2)由(1)可知 …………7分
∴ …………………………9分
∴S n = a1 a 2 + a2 a 3 + … + a n a n+1
…………………………………………12分
20.(12分)解:(1)由已知得:
由f(-2)=<,得-1<c<3 . ………………………………4分
∵ b,c∈N * ∴ c=2,b=2.
∴ ……………………………………6分
(2) ∵當(dāng)x∈ (1,2]時(shí), ∴ f(x)>0.
∴若不等式2m f(x+1)>1 有解,則m >0 .
即當(dāng)x∈ (1,2]時(shí),不等式2 f(x+1)> 有解.………………8分
又當(dāng)x∈ (1,2]時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.
∴ …………………………………10分
∴ . ……………………………12分
21.(12分)解:(1)設(shè)M(x,y),則由題可得:A(2,0),B(2,1),C(0,1).
∴,,,
∴
整理得:( 1 - k ) x 2 + 2( k - 1 ) x + y 2 = 0 為所求的軌跡方程.……3分
當(dāng)k = 1 時(shí),y = 0,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線;
當(dāng)k ≠ 1時(shí),方程可化為
當(dāng)k = 0時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓;
當(dāng)k > 1時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條雙曲線;
當(dāng)0< k <1 或 k <0時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.…………………6分
(2)由消x整理得(2-k)x 2 + (4 + 2 k ) x + 9 = 0
由題可知△>0, ∴k 2 + 13 k - 14 >0 ∴ k>1 或 k<-14.………8分
∵ k <0 ∴ k < -14 ,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓,方程為
其中a 2 = 1-k , b 2 = 1 ,c 2 = a 2 - b 2 = - k, ∴
∵ k <-14 ∴ ∴. …………12分
22.(14分)解:(1)由題可知,光線BC必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(,0)
設(shè)直線BC的方程為x = my + ,將其代入拋物線方程y2 =2px得y 2 -2p my -p 2 = 0
∴ y1 y2 = - p2. ………………………………………… 4分
(2)由題可知,點(diǎn)A(6,4)關(guān)于直線 l:x - y – 7 = 0的對(duì)稱點(diǎn)E(11,-1)在直線CD上,∴ y2 = -1 ,又y1 = 4 ∴ 由y1 y2 = -p2得p=2 ,則拋物線的方程為y2 = 4x. ………………………………………… 8分
(3)設(shè)M(x1,y1)、N (x2,y2)、P(a,b) ∴2a = x1 + x2 ,2b = y1 + y2
由題可知,直線MN的斜率存在且不為零,∴設(shè)直線MN的斜率為k,
則由兩式相減得(y1-y2) (y1 + y2) = 4 (x1-x2)
∴ k = 則
又已知點(diǎn)P的軌跡方程為y2 =2(x + 1) (x > 1) , ∴ b2 =2(a + 1)
將 代入得 ,
則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且斜率為k的直線MN的方程為y = k(x-)+
即 y = k x + k = k (x + 1)
∴ 弦MN所在直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0). ……………… 14分
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