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21.(本小題滿分12分)已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是其左、右頂點(diǎn)分別是A、B;雙曲線的一條漸近線方程為3x-5y=0.
⑴求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;
⑵在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P,連結(jié)AP交橢圓C1于點(diǎn)M,連結(jié)PB并延長交橢圓C1于點(diǎn)N,若。求證:
綜合試題(3)參考答案
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)最符合題目要求的。
題號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
答案 |
C |
D |
B |
D |
D |
C |
C |
B |
A |
B |
C |
D |
二、填空題:本大題4個(gè)小題,共16分)
13.185 14. 15. 16.x=0,2或-
三、解答題:本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17.解:⑴設(shè)摸出的4個(gè)球中有2個(gè)白球、3個(gè)白球分別為事件A、B,則
∵A、B為兩個(gè)互斥事件 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)=
即摸出的4個(gè)球中有2個(gè)或3個(gè)白球的概率為…………6分
⑵設(shè)摸出的4個(gè)球中全是白球?yàn)槭录﨏,則
|
其概率為………………12分
18.(A)⑴證明:取A1B1的中點(diǎn)F,連EF,C1F
∵E為A1B中點(diǎn)
∴EF∥ BB1…………2分
又∵M(jìn)為CC1中點(diǎn) ∴EF∥ C1M
|
而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .
∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分
⑵由⑴EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1
∴N為C1D1 中點(diǎn)
過B1作B1H⊥A1N于H,連BH,根據(jù)三垂線定理 BH⊥A1N
∠BHB1即為二面角B-A1N-B1的平面角……8分
設(shè)AA1=a, 則AB=2a, ∵A1B1C1D1為正方形
∴A1H= 又∵△A1B1H∽△NA1D1
∴B1H=
在Rt△BB1H中,tan∠BHB1= 即二面角B-A1N-B1的正切值為……12分
(B)⑴建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2a,AA1=a(a>0),則
A1(2a,0,a),B(2a, 2a , 0), C(0,2a,0),C1(0,2a,a)……2分
∵E為A1B的中點(diǎn),M為CC1的中點(diǎn) ∴E(2a , a , ),M(0,2a, )
∴EM// A1B1C1D1 …………6分
|
…………9分
而平面A1B1C1D1的法向量為.設(shè)二面角為,則
又:二面角為銳二面角 ,……11分
從而………………12分
19.⑴解:
…3分
由=0即
即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為…………6分
⑵由已知b2=ac
即的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383471_1/image067.gif">
綜上所述, 值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383471_1/image067.gif">…………12分
20.解:⑴由已知a2-a1=-2, a3-a2=-1, -1-(-2)=1
∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1).1=n-3
n≥2時(shí),an=( an-an-1)+( an-1-an-2)+…+( a3-a2)+( a2-a1)+ a1
=(n-4)+(n-5) +…+(-1)+(-2)+6
=
n=1也合適. ∴an= (n∈N*) ……………………3分
又b1-2=4、b2-2=2 .而 ∴bn-2=(b1-2).()n-1即bn=2+8.()n…6分
∴數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式為:an= ,bn=2+()n-3
⑵設(shè)
當(dāng)k≥4時(shí)為k的增函數(shù),-8.()k也為k的增函數(shù),而f(4)=
∴當(dāng)k≥4時(shí)ak-bk≥………………10分
又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k, 使f(k)∈(0,)…………12分
21.⑴由已知………………3分
∴橢圓的方程為,雙曲線的方程.
又 ∴雙曲線的離心率…………………………6分
⑵由⑴A(-5,0),B(5,0),設(shè)M得m為AP的中點(diǎn)
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為 將m、p坐標(biāo)代入c1、c2方程得
消去y0得 解之得
由此可得P(10,………………9分
當(dāng)P為(10, 時(shí) PB: 即
代入
MN⊥x軸 即…………12分
22.⑴證明:
∴結(jié)論成立 ……………………………………4分
⑵證明:
當(dāng)
即…………9分
⑶解:
①當(dāng)
如果 即時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞增
如果
當(dāng)時(shí),最小值不存在…………………………11分
②當(dāng)
如果
如果…13分
當(dāng)
綜合得:當(dāng)時(shí) g(x)最小值是
當(dāng)時(shí),g(x)最小值是;當(dāng)時(shí),g(x)最小值為;
當(dāng)時(shí),g(x)最小值不存在………………14分
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