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8.過球面上三點A、B、C的截面和球心的距離是球半徑的一半,且AB=6,BC=8,AC=10,
則球的表面積是 ( )
A.100 B.300 C. D.
綜合測試題(1)參考答案
一、選擇題
1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.A. 7.A 8.D 9.C 10.B 11.C 12.C
二、填空題
13. 8 14. 14 15. 16. 54
三、解答題
17.(I)由題意a+b=(cosα+cosβ, sinα+sinβ), a-b=(cosα-cosβ, sinα-sinβ)
∵(a+b).(a-b)= (cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)
= cos2α-cos2β+ sin2α-sin2β=1-1=0
∴a+b 與a-b互相垂直.
(II) ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ), a-kb=(cosα-kcosβ, sinα-ksinβ)
|ka+b|= , |a-kb|=
由題意,得4cos(β-α)=0, 因為0<α<β<π ,所以β-α=
18.(I)以B點為原點,BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系. ∵AC=2a,∠ABC=90º. ∴AB=BC=a. 從而B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0), A1(a,0,3a),B1(0,0,3a),C1(0,a,3a), D(,3a),E(0,).………………2分 ∴). 而 . ………4分 ∴cosθ= ∴θ=arctan …………6分 (II)設AF=x,則F( a,0,x) …………7分 +x×0=0 ∴……………10分 要使得CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F ,由=2a2+x(x-3a)=0 有x=a或x=2a 故當AF=a,或AF=2a時,CF⊥平面B1DF.…………………12分
19.⑴由題意,存款量g(x)=kx2,銀行應支付的利息h(x)=x.g(x)=kx3 . ……4分
⑵設銀行可獲收益為y, 則y=0.048.kx2- kx3 ;
y/=0.096.kx-3kx2 …………………6分
令y/=0即0.096.kx-3kx2=0 解得x=0或x=0.032
又當x∈(0,0.032)時 , y/>0,當 x∈(0.032,0.048)時,y/<0. ………8分
∴y在(0,0.032)內單調遞增,在(0.032,0.048)內單調遞減;
故當x=0.032時, y在(0,0.048)內取得極大值,也是最大值.
故存款的利率為3.2%,銀行可獲得最大收益. ………………12分
20.設船速為v,顯然時人是不可能追上小船,當km/h時,人不必在岸上跑,而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船,因此只要考慮的情況,由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕,當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時,人才能追上小船.設船速為v,人追上船所用時間為t,人在岸上跑的時間為,則人在水中游的時間為,人要追上小船,則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.……………4分
由余弦是理得
………………6分
即
整理得. ………………8分
要使上式在(0,1)范圍內有實數解,則有且
解得. ………………10分
故當船速在內時,人船運動路線可物成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的最大速度為,由此可見當船速為2.5km/h時, 人可以追上小船.…………12分
21.⑴
⑵由⑴知
22.⑴ 依題意有,化簡為 由違達定理, 得
解得 ……………2分
代入表達式,由
得 不止有兩個不動點,
………………4分
⑵由題設得 (*)
且 (**)
………………6分
由(*)與(**)兩式相減得:
解得(舍去)或,由,若這與矛盾,,即{是以-1為首項,-1為公差的等差數列,. ……9分
⑶采用反證法,假設則由(I)知
,
有,而當
這與假設矛盾,故假設不成立. ∴an<3 ……………14分