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8.設(shè)擲1顆骰子的點數(shù)為ξ,則 ( )
A.Eξ=3.5,Dξ=3.52 B.Eξ=3.5,Dξ=
C.Eξ=3.5,Dξ=3.5 D.Eξ=3.5,Dξ=
概率與統(tǒng)計練習(xí)100分參考答案
一、選擇題
1.A ∵P(ξ=k)=C.0.01k(1-0.01)10-k,Eξ=nP=0.1.
2.B 作出概率分布可得.
3.A 本題考查隨機(jī)變量的期望及有關(guān)的運(yùn)算,由
η=12ξ+7Eη=12Eξ+734=12Eξ+7Eξ=
=1×+2×m+3×n+4×,
又+m+n+=1, 聯(lián)立求解可得m=,故選A.
4.C P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=.
∴Eξ=+2×+3×+4×=2.7.
5.D 由于p+q=1,所以q=1-p,從而Eξ=0×p+1×q=q=1-p,
Dξ=[0-(1-p)]2p+[1-(1-p)]2q=(1-p)2p+p2(1-p)=p-p2
6.A 設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列是:
ξ |
x1 |
x2 |
… |
xn-1 |
xn |
P |
P1 |
P2 |
… |
P
n-1 |
Pn |
則η=3ξ+2的分布列為:
η |
3x1+2 |
3x2+2 |
… |
3xn-1+2 |
3xn+2 |
P |
P1 |
P2 |
… |
P
n-1 |
Pn |
從而Eη=E(3ξ+2)=(3x1+2)P1+(3x2+2)P2+…+(3xn-1+2)Pn-1+(3xn+2)Pn
=3(x1P1+x2P2+…+xn-1Pn-1+xnPn)+2(P1+P2+…+Pn-1+Pn)=3Eξ+2;
Dη=[(3x1+2)-(3Eξ+2)]2P1+[(3x2+2)-(3Eξ+2)]2P2+…+[(3xn-1+2)-(3Eξ+2)]2Pn-1+[(3xn+2)-(3Eξ+2)]2Pn=9(x1-Eξ)2P1+9(x2-Eξ)2P2+…+9(xn-1-Eξ)2Pn-1+9(xn-Eξ)2Pn
=9[(x1-Eξ)2P1+(x2-Eξ)2P2+…+(xn-1-Eξ)2Pn-1+(xn-Eξ)2Pn]=9Dξ.
點評 對于隨機(jī)變量ξ和η,如果η=aξ+b(a、b為常數(shù)),則有Eη=aEξ+b,Dη=a2Dξ.
7.A ∵ξ~B(n,P),∴Eξ=nP,Dξ=nP(1-P),
從而有解之,得n=8,P=0.2.
8.B 隨機(jī)變量ξ的分布列是:
ξ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
P |
|
|
|
|
|
|
從而Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5,
Dξ=(1-3.5)2×+(2-3.5)2×+(3-3.5)2×+(4-3.5)2×+(5-3.5)2×+(6-3.5)2×=.
9.B E[3(ξ2-2)]=E(3ξ2-6)=3Eξ2-6=3[Dξ+(Eξ)2]-6=6.
10.C 從表中可見,當(dāng)x<0時,P(ξ≤x)=0;
當(dāng)0≤x<1時,P(ξ≤x)=P(ξ=0)=;
當(dāng)1≤x<2時,P(ξ≤x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=;
當(dāng)x≥2時,P(ξ≤x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=1.
點評 對于密度函數(shù),要理解其意義,搞清它與概率分布的聯(lián)系與區(qū)別.
二、填空題
11. 本題需運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的期望等知識.
Eξ==0×a+1×+2×+3bb=.
又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1
a+++=1a=.
12.乙 甲獲勝的期望與方差分別是:
(Eξ)甲=0.4×1+0.1×2+0.5×3=2.1,(Dξ)甲=(2.1-1)2×0.4+(2.1-2)2×0.1+(2.1-3)2×0.5=0.89.
乙獲勝的期望與方差分別是:
(Eξ)乙=0.1×1+0.6×2+0.3×3=2.2,(Dξ)乙=(2.2-1)2×0.1+(2.2-2)2×0.6+(2.2-3)2×0.3=0.456.
∵乙的期望高于甲,且乙的水平比甲穩(wěn)定,故得勝希望大的是乙.
13. Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=.
14. 因為是有放回地摸球,所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為,連續(xù)摸4次(做4次試驗),ξ為取得紅球(成功)的次數(shù),則ξ~B,從而有Eξ=nP=4×=.
三、解答題
15.解 (1)p=(1-)2.=.
(2)6場勝3場的情況有C種.
∴p=C=20××=.
(3)由于ξ服從二項分布,即ξ-B(6,),
∴Eξ=6×=2,Dξ=6××(1-)=.
答:(1)這支籃球隊首次勝場前已負(fù)兩場的概率為;
(2)這支籃球隊在6場比賽中恰勝3場的概率為;
(3)在6場比賽中這支籃球隊勝場的期望為2,方差為.
點評 在二項分布ξ-B(n,p)中,期望Eξ=np,方差=npq.這兩個公式只要求考生了解、會用,不要求給予證明.
16.解 (1)由概率分布的性質(zhì)有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1.
∴100a2+7a=0.3,∴1 000a2+70a-3=0,a=,或a=-(舍去),即a=0.03,
∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,∴ξ的分布列為
ξ |
200 |
220 |
240 |
260 |
280 |
300 |
P |
0.12 |
0.18 |
0.20 |
0.20 |
0.18 |
0.12 |
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km)
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964;
(2)由已知η=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)
Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=8 676.
17.解 (1)記路段MN發(fā)生堵車事件為MN,因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P1為
1-P(..)=1-P().P().()
=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-..=;
同理:路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P2為1-P(..)=(大于);路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P3為1-P(..)=(小于);
顯然要使得由A到B路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小,只可能在以上三條路線中選擇.因此
選擇路線A→C→F→B,可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小.
(2)路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)=P(..)=.
P(ξ=1)=P(AC..)+P(.CF.)+P(..FB)
=××+××+××=.
P(ξ=2)=P(AC.CF.)+P(AC..FB)+P(.CF.FB)
=××+××+××=,
P(ξ=3)=P(AC.CF.FB)=××=,
Eξ=0×+1×+2×+3×=.
答:路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.
18.解 (1)因為這位司機(jī)第一二個交通崗未遇到紅燈,在第三個交通崗遇到紅燈,
所以P=(1-)(1-)×=.
(2)易知ξ~B(6,).∴Eξ=6×=2,Dξ=6××(1-)=.
19.解 (1)從兩個箱子里各取1球,共CC=36種取法,
其中同色的取法有CC+CC+CC=3x+2y+z故A勝的概率為.
(2)設(shè)A得分為ξ,則ξ可能取值為0、1、2、3,其概率分別為
P(ξ=0)=1-=1-
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)=
∴Eξ=0×1-+1×+2×+3×=
∵x+y+z=6,∴Eξ=
∵x,y,z≥1,∴當(dāng)x=1,y=4,z=1時,Eξ最大為.