參考答案

1.B　 依題意，得a.b+b.c +c.a=3|a|².cos120°= -，選B.

2.A　 顯然有P(x，y)，A(-，0)，B(，0).由|　|+||=6知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A(-，0)，B(，0)為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓，其方程為+=1，令x=

3cosθ，y=2sinθ，則|2x-3y-12|=|6cos(θ+)-12|，當(dāng)cos(θ+)=-1時(shí)|2x-3y-12|取最大值為12+6.

3.B　 單位向量可能方向不同，所以不一定相等，(1)不正確；只要方向相同或相反的向

量都是共線向量，(2)不正確；向量是不能比較大小的，(3)不正確；按人教版課本規(guī)定零向量與任意向量是平行向量，(4)不正確；(5)中為向量模的不等式，正確，故選B.

4.B　 2a+k b與3a-2b共線，存在實(shí)數(shù)t，使2a+k b= t(3a-2b)，∵a與b的夾角為，則a與b不共線.

∴2=3t，k= -2t，解得k= -，選B.

點(diǎn)評：本題考查向量的夾角的概念、夾角的求法、向量共線的條件.利用方程思想是求參數(shù)的主要方法.

5.C∵=，∴∥且||≠|(zhì)|，即四邊形ABCD為梯形，又||=|　|，∴四邊形ABCD為等腰梯形.

6.C.(+)=.(+++)=2.= -2||.||≥-2()²= -2，故選C.

7.A由定比分點(diǎn)公式可求得P(-2，11)，選A.

8.A由題意有=，即點(diǎn)D分有向線段所成的比為λ=，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式有

∴D(，).

同理可求E(，)，F(，).

設(shè)△DEF的重心坐標(biāo)為(x′，y′)，則由重心坐標(biāo)公式有：

=(++)=　(a₁+b₁+c₁)，

同理可求y′=(a₂+b₂+c₂)，這也是△ABC的重心坐標(biāo).

故△DEF的重心與△ABC的重心重合.

點(diǎn)評：由重心坐標(biāo)公式，只要求出△DEF的各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.三角形的五心中，有四個(gè)心在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，需要特別加以關(guān)注.一是重心，即各邊的中線交點(diǎn)，其重心坐標(biāo)公式為：x=，y=，(其中(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo))重心分對應(yīng)的中線所成的比為1∶2的關(guān)系.二是外心，即外接圓圓心，也就是中垂線的交點(diǎn)，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.三是內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心，也就是角平分線的交點(diǎn)，內(nèi)心到三邊的距離相等.四是垂心，即三角形的三條高的交點(diǎn).

9．解：設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則+=2，又M為△ABC的重心，則= -2，所以++=0.

10.解：設(shè)B(x，y)，則=(x-1，y+2)，與同a同向，∴3(x-1)=2(y+2)，又|AB|==2，解得x=5，y=4或x= -3，y= -8，而當(dāng)x= -3，y= -8時(shí)，與a反向，故B為(5，4).

11.(2，2)　 如圖，當(dāng)A ′C=2時(shí)，

三角形有且只有一解，此時(shí)BC=2，∴x<2.

又∵三角形有兩解，∴x>2，綜合得x∈(2，2).

12.解：∵|λ a+μ b|=|(λcosα+μcosβ，λsinα+μsinβ)|=，

同理|μa-λb|=，由|λa+μb|=|μa-λb|得cos(β-α)=0.

∵0<α<β<π，∴β-α=.

13.解：(1)∵a∥b，∴a=mb，即-2e₁- e₂=m e₁ -mλe₂

∴　 解得：m= -2，λ= -.

(2)∵a⊥b，∴a.b=0，(-2e₁- e₂).(e₁-λe₂)=0

即 -2 e₁²+2λe₁.e₂- e₂.e₁+λe₂²=0，-2 +λ=0，∴λ=2.

點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)向量垂直、平行的充要條件、向量的數(shù)量積的意義.

14.解：(1)依題意，A為BC中點(diǎn)，則2=+.

=2-=2a-b　 ∴=-=-=2 a-b-b=2 a-b.

(2)若=λ，則=-=λ a-(2a-b)=(λ-2)a+b.

∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使=k.

∴(λ-2)a+b=k(2a-b)　 ∴解得λ=.

15.(1)∵ (2a-3b).(2a+b)=61，∴4a²-4a.b-3b²=61.

又|a|=4，|b|=3，∴4×16-4a.b-3×9=61，

∴a.b= -6，∴cosθ=　= -，∴θ=120°.

(2)設(shè)存在點(diǎn)M，且=λ=(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴=(2-6λ，5-3λ)，=(3-6λ，1-3λ).

∴45λ²-48λ+11=0，解得：λ=或λ=，∴=(2，1)或　=(，)滿足題意.∴存在M(2，1)或M(，)滿足題意.

16．解(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則= -，得P(0，-)，Q(，0)，由.=0，

得(3，-).(x，)=0，所以y²=4x，由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，得x>0，所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以(0，0)為頂點(diǎn)，以(1，0)為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn).

(Ⅱ)設(shè)直線l：y=k(x+1)，其中k≠0代入y²=4x，

得k²x²+2(k²-2)x+k²=0，(1)

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是方程(1)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得

x₁+x₂= -，

所以，線段AB的中點(diǎn)N坐標(biāo)為(，)，

線段AB的垂直平分線方程為y -= -(x -)，

令y=0，x₀=+1，所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(+1，0).

因?yàn)椤?i>ABE為正三角形，所以，點(diǎn)E(+1，0)到直線AB的距離等于|AB|，而|AB|==.，|NE|=，∴　=，解得k=±，所以，x₀=.