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22、(本小題滿分14分)已知函數(shù),設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,其中為正實(shí)數(shù).
(Ⅰ)用表示;
(Ⅱ)若,記,證明數(shù)列成等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若,,是數(shù)列的前項(xiàng)和,證明.
解析:本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識,以及推理論證、計算及解決問題的能力.
(Ⅰ)由題可得.
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是:.
即.
令,得.
即.
顯然,∴.
(Ⅱ)由,知,同理.
故.
從而,即.所以,數(shù)列成等比數(shù)列.
故.
即.
從而
所以
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
∴
∴
當(dāng)時,顯然.
當(dāng)時,
∴
.
綜上,.