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19.設(shè)平面向量 (其中),且.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若函數(shù)對(duì)任意都有,求此時(shí)在上的最小值;
(3)若點(diǎn)在不等式所表示的區(qū)域內(nèi),且為方程的一個(gè)解,當(dāng)時(shí),請(qǐng)判斷是否為方程的根,并說(shuō)明理由.
答案
一、選擇題
1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A
二、填空題
11. 12. 13. 14. 15. 16.①②④
三、解答題
17.解:(1) .
∵,∴,即,
化簡(jiǎn)得,∴.
∵,∴.
(2) ,
,
∴.
18.解:(1)如圖,連,則由,得平面.
又由底面為菱形,可得,所以.
連,則為在平面上的射影,所以即為與平面所成的角.
由中點(diǎn)可得.
又由菱形性質(zhì)可得,在中, ,所以.
所以在中,,所以.
(2)由,,可得.
過(guò)作,連,則由三垂線定理可得,所以即為二面角的平面角.
由(1)可知,又在中, ,
所以,所以.
(3)設(shè),過(guò)作,則由可得平面.
又,所以.
所以,而,可得,故線段上存在一點(diǎn),使成立, .
19.解:(1)∵,∴.
∵,∴.
∴.
∴.
(2)已知對(duì)任意的都有,
∴當(dāng)時(shí)有,∴,即,
∴上是增函數(shù), ∴,
∴上的最小值為.
(3)設(shè),由知,
∴
由①-②得.
∵,∴,
∴,即,
∴是方程的根.
20.解:(1)由橢圓定義可得,
由可得,
而,∴,解得.
(2)由,得,
,
解得(舍去),∴.
此時(shí).
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取得最小值,此時(shí)橢圓方程為.
(3)由知點(diǎn)是的中點(diǎn).
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,中點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則,兩式相減得.
∴,∴中點(diǎn)的軌跡為直線 ①且在橢圓內(nèi)的部分.
又由可知,所以直線的斜率為,方程為 ②
①、②聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,∵點(diǎn)必在橢圓內(nèi),∴,
解得,又∵,∴.
21.解:(1),∴的兩根為,
令,∵,∴,
故有.
(2)設(shè)中點(diǎn),則,
故有,∴,
.
∴.
代入驗(yàn)算可知在曲線上.
(3)過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線的斜率是,
當(dāng)時(shí),切線的斜率;
當(dāng)時(shí), ,∴,
∴切線斜率.
∵,∴,∴
∴
∴,故過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的兩條直線不可能垂直.
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