1.集合,已知只有一個(gè)子集,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
2.曲線的長(zhǎng)度是 ( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集是 ( )
A. B.
C. D.
4.把函數(shù)的圖象沿向量的方向平移后,所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值是 ( )
A. B. C. D.
5.等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)的和為,當(dāng)首項(xiàng)變化時(shí), 是一個(gè)定值,則下列各數(shù)中也為定值的是 ( )
A. B. C. D.
6.一橢圓以正三角形的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),且過(guò)的中點(diǎn),則其離心率是( )
A. B. C. D.
7.半徑為4的球面上有四點(diǎn),且,則的最大值為(表示三角形面積) ( )
A. B. C. D.
8.某校有6間不同的電腦室,每天晚上至少開(kāi)放2間,欲求不同的安排方案的種數(shù),現(xiàn)有四位同學(xué)分別給出下列四個(gè)結(jié)果:①;②;③;④.其中正確的結(jié)論是 ( )
A.僅有① B.②和④ C.②和③ D.僅有③
9.已知函數(shù)上任一點(diǎn)處的切線斜率 ,則該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 ( )
A. B. C. D.
10.對(duì)任意,奇函數(shù)和偶函數(shù)在區(qū)間上的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,且為增函數(shù),則下列各選項(xiàng)中能使不等式: 成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知條件,條件.若是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
12.,若的圖象向左至少平移個(gè)長(zhǎng)度單位后所得的圖象恰為奇函數(shù)的圖象,而向右至少平移個(gè)長(zhǎng)度單位后所得的圖象恰為偶函數(shù)的圖象,則的最小正周期是________.
13.設(shè)滿足的點(diǎn)的集合為,滿足的點(diǎn)的集合為,則所表示的圖形的面積是________.
14.已知,且都是正數(shù),則的最小值是________.
15.一項(xiàng) “過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定:在第關(guān)要拋擲一顆骰子次,如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于,則算過(guò)關(guān),那么連過(guò)前二關(guān)的概率是________.
16.直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn),如果函數(shù)的圖象恰好通過(guò)個(gè)格點(diǎn),則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù):①;②;③;④,其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有_______.
17.已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,其中.
(1)若,求角的值;
(2)若,求的值.
18.如圖,四棱錐的底面為菱形,且,
,的中點(diǎn).
(1)求直線與平面所成角的大小;
(2)求二面角的平面角的正切值;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使成立?如果存在,求出的長(zhǎng);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.設(shè)平面向量 (其中),且.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若函數(shù)對(duì)任意都有,求此時(shí)在上的最小值;
(3)若點(diǎn)在不等式所表示的區(qū)域內(nèi),且為方程的一個(gè)解,當(dāng)時(shí),請(qǐng)判斷是否為方程的根,并說(shuō)明理由.
20.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是,且橢圓上存在點(diǎn),使.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若直線與橢圓存在一個(gè)公共點(diǎn),使得取得最小值,求此最小值及此時(shí)橢圓的方程;
(3)在條件(2)下的橢圓方程,是否存在斜率為的直線,與橢圓交于不同的兩點(diǎn),滿足,且使得過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)的直線滿足?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
21.已知函數(shù),其中.
(1)設(shè)在處取得極值,其中,求證: ;
(2)設(shè),求證:線段的中點(diǎn)在曲線上;
(3)若,求證:過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的兩條直線不可能垂直.
綜合模擬測(cè)試(一)參考答案
答案
一、選擇題
1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A
二、填空題
11. 12. 13. 14. 15. 16.①②④
三、解答題
17.解:(1) .
∵,∴,即,
化簡(jiǎn)得,∴.
∵,∴.
(2) ,
,
∴.
18.解:(1)如圖,連,則由,得平面.
又由底面為菱形,可得,所以.
連,則為在平面上的射影,所以即為與平面所成的角.
由中點(diǎn)可得.
又由菱形性質(zhì)可得,在中, ,所以.
所以在中,,所以.
(2)由,,可得.
過(guò)作,連,則由三垂線定理可得,所以即為二面角的平面角.
由(1)可知,又在中, ,
所以,所以.
(3)設(shè),過(guò)作,則由可得平面.
又,所以.
所以,而,可得,故線段上存在一點(diǎn),使成立, .
19.解:(1)∵,∴.
∵,∴.
∴.
∴.
(2)已知對(duì)任意的都有,
∴當(dāng)時(shí)有,∴,即,
∴上是增函數(shù), ∴,
∴上的最小值為.
(3)設(shè),由知,
∴
由①-②得.
∵,∴,
∴,即,
∴是方程的根.
20.解:(1)由橢圓定義可得,
由可得,
而,∴,解得.
(2)由,得,
,
解得(舍去),∴.
此時(shí).
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取得最小值,此時(shí)橢圓方程為.
(3)由知點(diǎn)是的中點(diǎn).
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,中點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則,兩式相減得.
∴,∴中點(diǎn)的軌跡為直線 ①且在橢圓內(nèi)的部分.
又由可知,所以直線的斜率為,方程為 ②
①、②聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,∵點(diǎn)必在橢圓內(nèi),∴,
解得,又∵,∴.
21.解:(1),∴的兩根為,
令,∵,∴,
故有.
(2)設(shè)中點(diǎn),則,
故有,∴,
.
∴.
代入驗(yàn)算可知在曲線上.
(3)過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線的斜率是,
當(dāng)時(shí),切線的斜率;
當(dāng)時(shí), ,∴,
∴切線斜率.
∵,∴,∴
∴
∴,故過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的兩條直線不可能垂直.
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