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2. 已知函數(shù)對于,都有
(1)求證:是奇函數(shù); (2)若,用表示.
例4:(07全國二卷)已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)設(shè),如果過點可作曲線的三條切線,證明:
解:(1)的導(dǎo)數(shù).曲線在點處的切線方程為:,即.
(2)如果有一條切線過點,則存在,使.
若過點可作曲線的三條切線,則方程有三個相異的實數(shù)根.記,則.
當(dāng)變化時,變化情況如下表:
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0 |
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0 |
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0 |
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增函數(shù) |
極大值 |
減函數(shù) |
極小值 |
增函數(shù) |
由的單調(diào)性,當(dāng)極大值或極小值時,方程最多有一個實數(shù)根;
當(dāng)時,解方程得,即方程只有兩個相異的實數(shù)根;
當(dāng)時,解方程得,即方程只有兩個相異的實數(shù)根.
綜上,如果過可作曲線三條切線,即有三個相異的實數(shù)根,則即 .
例5:(07山東理)設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時,判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)求函數(shù)的極值點;
(Ⅲ)證明對任意的正整數(shù),不等式都成立.
解(I) 函數(shù)的定義域為.
,
令,則在上遞增,在上遞減,
.當(dāng)時,,
在上恒成立.
即當(dāng)時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。
(II)分以下幾種情形討論:(1)由(I)知當(dāng)時函數(shù)無極值點.
(2)當(dāng)時,,時,
時,時,函數(shù)在上無極值點。
(3)當(dāng)時,解得兩個不同解,.
當(dāng)時,,,
此時在上有唯一的極小值點.
當(dāng)時,
在都大于0 ,在上小于0 ,
此時有一個極大值點和一個極小值點.
綜上可知,時,在上有唯一的極小值點;
時,有一個極大值點和一個極小值點;
時,函數(shù)在上無極值點。
(III) 當(dāng)時,
令則在上恒正,
在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,恒有.
即當(dāng)時,有,
對任意正整數(shù),取得
單元練習(xí)
參考答案
1.C 2. C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9. 6 10.
11. ; 12. 4 13. 14. ①④⑤
15. 解:由.
∵,∴.
當(dāng),即無實根,由,
即,解得;
當(dāng)時,由根與系數(shù)的關(guān)系:;
當(dāng)時,由根與系數(shù)的關(guān)系:;
當(dāng)時,由根與系數(shù)的關(guān)系:;
綜上所得.
16. 解法一: (Ⅰ)由圖象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.
(Ⅱ)由 得解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè)
又所以
由,即得, 所以.
17. 解:(1) 當(dāng)時,,
則
∴ 當(dāng)時, ,
則,
∴
綜上所述, 對于, 都有,∴ 函數(shù)是偶函數(shù)。
(2)當(dāng)時,
設(shè), 則.
當(dāng)時, ;
當(dāng)時, ,
∴ 函數(shù)在上是減函數(shù), 函數(shù)在上是增函數(shù)。
(3)由(2)知, 當(dāng)時, ,
又由(1)知, 函數(shù)是偶函數(shù), ∴ 當(dāng)時, ,
∴若, , 則 , ,
∴, 即.
18.解:(1)因為,所以時,,
即. 當(dāng)時,;
(2)由,
當(dāng)時,,因為,
所以,即;
所以即為所求.
評析:本題應(yīng)用常規(guī)解法,解答較為繁瑣;若用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,則十分簡單。
19. 解:(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因為當(dāng),故方案乙的用水量較少.
(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得
,(*)
于是+
當(dāng)為定值時,,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.此時
將代入(*)式得
故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為
, 最少總用水量是.
當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單
調(diào)性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.
20. 解:(Ⅰ),依題意有,故.
從而.
的定義域為,當(dāng)時,;
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
從而,分別在區(qū)間單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減少.
(Ⅱ)的定義域為,.
方程的判別式.
(ⅰ)若,即,在的定義域內(nèi),故的極值.
(ⅱ)若,則或.
若,,.
當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以無極值.
若,,,也無極值.
(ⅲ)若,即或,則有兩個不同的實根,.
當(dāng)時,,從而有的定義域內(nèi)沒有零點,故無極值.
當(dāng)時,,,在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點,由根值判別方法知在取得極值.
綜上,存在極值時,的取值范圍為.
的極值之和為
.