I.集合.
[考綱要求]
(1)集合的含義與表示
?、?了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系.
② 能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.
(2)集合間的基本關(guān)系
?、?理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集.
?、?在具體情境中,了解全集與空集的含義.
(3)集合的基本運(yùn)算
① 理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集.
?、?理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.
?、?能使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.
[課時(shí)建議]2課時(shí)
[07年考綱與06年考綱的比較]
07考綱(新) |
06考綱(舊) |
能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題. 能使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算. |
掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào),并會(huì)用它們正確表示一些簡單的集合. |
理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集. |
了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義. |
[備考重點(diǎn)、難點(diǎn)]
集合是高中數(shù)學(xué)的基本語言,學(xué)生通過學(xué)習(xí)集合知識(shí),有利于簡明準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)內(nèi)容。學(xué)生學(xué)習(xí)集合的初步知識(shí)是掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)。在進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí),不要追求難度、深度,由于在歷屆高考題中集合題型比較簡單,建議利用3-4課時(shí)重點(diǎn)解決以下問題:
1. 集合的概念與表示法:了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系;理解集合的三種表示方法,特別要關(guān)注圖示法的作用,體會(huì)代表元的意義與作用。能通過集合與集合的包含關(guān)系求待定元的值,子集個(gè)數(shù),特別是注意空集的情況。
2. 集合與集合的運(yùn)算:能解決用列舉法和不等式關(guān)系給定的集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算。掌握利用圖示法解決集合運(yùn)算問題,并且理解并集的三類含義。能通過集合的運(yùn)算求參數(shù)的取值范圍。
II.常用邏輯聯(lián)結(jié)詞部分.
[考綱要求]
(1)命題及其關(guān)系
① 了解命題及其逆命題、否命題與逆否命題.
② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義,會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.
(2)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞:了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.
(3)全稱量詞與存在量詞
① 理解全稱量詞與存在量詞的意義.
② 能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.
[新增內(nèi)容]全稱量詞與存在量詞:新增內(nèi)容要求比較低,只局限于判斷全稱命題與特稱命題及其真假;能寫出含有一個(gè)量詞的全稱或特稱命題進(jìn)行否定。
[07年考綱與06年考綱的比較]
07考綱(新) |
06考綱(舊) |
了解命題及其逆命題、否命題與逆否命題. |
理解四種命題及其相互關(guān)系. |
理解必要條件、充分條件與充要條件的意義,會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系. |
掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義. |
了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義. |
理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義. |
全稱量詞與存在量詞 |
|
[課時(shí)建議]2課時(shí)
[備考重點(diǎn)、難點(diǎn)]
1. 通過對(duì)命題四種形式的關(guān)系分析,體會(huì)反證法的證題思想和依據(jù)。
2. 會(huì)用集合的思想理解充要條件的關(guān)系。
3. 能判斷、證明和探求命題的充要條件。(重點(diǎn))
4. 能用邏輯聯(lián)結(jié)詞寫出兩個(gè)簡單命題的復(fù)合命題并根據(jù)真值表判斷真假。從命題的真假性體會(huì)否命題與命題的否定的區(qū)別.
5. 理解全稱命題與特稱命題的構(gòu)成,能判斷其真假;能寫出含有一個(gè)全稱量詞與存在量詞的的命題的否定。
II函數(shù)部分
[考綱要求]
(1)函數(shù)
① 了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.
② 在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).
③ 了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用.
④ 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義;結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義.
⑤ 會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).
(2)指數(shù)函數(shù)
① 了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.
② 理解有理指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算.
③ 理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn).
④ 知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.
(3)對(duì)數(shù)函數(shù)
① 理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù);了解對(duì)數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.
② 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念;理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn).
③ 知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;
④ 了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)().
(4)冪函數(shù)
① 了解冪函數(shù)的概念.
② 結(jié)合函數(shù)的圖像,了解它們的變化情況.
(5)函數(shù)與方程
① 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).
② 根據(jù)具體函數(shù)的圖像,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.
(6)函數(shù)模型及其應(yīng)用
① 了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征,知道直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.
② 了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.
[地位分析]函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,函數(shù)概念及其所反映的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域:函數(shù)與代數(shù)式、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與圓錐曲線及函數(shù)與微積分都有密切的聯(lián)系。因此函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終。
[課標(biāo)與07年考綱比較]
《課程標(biāo)準(zhǔn)》 |
《考試大綱》 |
理解指數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn). |
掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn). |
了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn). |
理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn). |
[07年考綱與06年考綱的比較]
07考綱(新) |
06考綱(舊) |
了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域; |
理解函數(shù)的概念. |
了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用. |
|
理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義;結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義. |
掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法. |
理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn). |
掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì). |
知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù); |
|
理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念;理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn). |
掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì). |
知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型; |
能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題. |
了解指數(shù)函數(shù) 與對(duì)數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)() |
了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系,會(huì)求一些簡單函數(shù)的反函數(shù). |
冪函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用 |
|
[新增內(nèi)容]:函數(shù)的奇偶性、冪函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、二分法求方程的近似根。
(1)函數(shù)的奇偶性由三角函數(shù)內(nèi)容提升到函數(shù)部分,主要優(yōu)化知識(shí)的系統(tǒng)性、完備性。
(2)冪函數(shù)要求層次較低,只要求能借助研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法,會(huì)探討五個(gè)簡單冪函數(shù)的性質(zhì)。
(3)函數(shù)與方程是新課標(biāo)新增內(nèi)容課標(biāo)要求的層次相對(duì)較低,但方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是“數(shù)形思想”的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),建議在這一部分適當(dāng)推廣到任意函數(shù)。結(jié)合圖象補(bǔ)充一元二次不等式的解法,處理有關(guān)二次三項(xiàng)式大于零的恒成立問題。了解根的存在性定理,學(xué)會(huì)利用二分法求方程的近似根,體會(huì)算法思想。
[淡化內(nèi)容]:映射(了解)、反函數(shù)(課本一帶而過)。
[強(qiáng)化內(nèi)容]:分段函數(shù):課本用較大篇幅,借助大量例題分析如何建立分段函數(shù)模型,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重視。
[課時(shí)建議]22課時(shí).
[重點(diǎn)與難點(diǎn)]
1. 函數(shù)表示法及解析式求解:理解函數(shù)解析式求解的幾種基本方法?!?
(1)已知函數(shù)類型,求函數(shù)的解析式:待定系數(shù)法 .
(2)已知求或已知求:換元法、配湊法.
(3)已知函數(shù)圖像,求函數(shù)解析式;
(4)滿足某個(gè)等式,這等式除外還有其他未知量,需構(gòu)造另個(gè)等式:解方程組法;
(5)應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等.(特別是分段函數(shù))
2. 能把含絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)。
3. 函數(shù)的定義域:理解求函數(shù)定義域的基本思想和方法,適度增加簡單抽象函數(shù)定義域.
4. 函數(shù)值域:課標(biāo)要求比原教材有所降低,建議不要追求深度、難度。重點(diǎn)解決以下幾種題型的值域問題。
(1)一次函數(shù)值域:定義域?yàn)镽和給定區(qū)間.
(2)二次函數(shù)值域:定義域?yàn)镽和給定區(qū)間,可適當(dāng)補(bǔ)充含參討論求最值,例如區(qū)間定、軸不定和軸定、區(qū)間不定的最值問題。
(3)補(bǔ)充簡單分式函數(shù)值域:例如,求函數(shù)、、(變量分離法)
的值域.
(4)復(fù)合函數(shù)值域:例如,求函數(shù),的值域.
5. 函數(shù)的單調(diào)性
(1)能用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.
(2)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(3)比較大小.
(4)利用函數(shù)單調(diào)性求值域,最值,并理解最值的含義與幾何意義.
(5)解不等式.
(6)利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.
6. 函數(shù)的奇偶性
(1)掌握函數(shù)的奇偶性的定義及圖象特征,并能判斷和證明函數(shù)的奇偶性,理解奇偶性是對(duì)函數(shù)的一種分類.
(2)求對(duì)稱區(qū)間的解析式,并能利用函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行畫函數(shù)圖像以及判斷.
(3)利用函數(shù)的奇偶性解決問題.
(4)注意0在定義域內(nèi)是,奇函數(shù)有 ;偶函數(shù) 的靈活應(yīng)用。
7. 基本初等函數(shù),加強(qiáng)應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想.
8. 函數(shù)圖象及變換: 函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱變換。
9. 函數(shù)與方程:
(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系、根的存在性定理,了解單調(diào)函數(shù)零點(diǎn)唯一性的判定。
(2)結(jié)合函數(shù)的圖像,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解,并注重這種思想方法的應(yīng)用.
III.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
[考綱要求]
(1)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
① 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.
② 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
① 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
② 能利用表1給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù).
表1:常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式:
(C為常數(shù));, n∈N+;;
; ; ; ; .
法則1 .
法則2 .
法則3 .
(3)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
① 了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
②了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
(4)生活中的優(yōu)化問題:會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.
(5)定積分與微積分基本定理
① 了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.
② 了解微積分基本定理的含義.
[07年考綱與06年考綱的比較]
07考綱(新) |
06考綱(舊) |
理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. |
掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義 |
能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù). |
了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會(huì)求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù). |
了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次;會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值,對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次. |
了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào));會(huì)求一些實(shí)際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值. |
定積分與微積分基本定理,推理與證明 |
|
[目標(biāo)定位]
(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等),掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,理解導(dǎo)函數(shù)的概念.
(2)熟記基本求導(dǎo)公式(C,xm(m為有理數(shù)),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的導(dǎo)數(shù)),掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會(huì)求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(3)了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)),會(huì)求一些實(shí)際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值.
[新增內(nèi)容]:定積分與微積分基本定理
微積分基本定理是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),在高中數(shù)學(xué)中要求較低,目標(biāo)層次為了解,只要求學(xué)生能根據(jù)微積分基本定理求一些較為簡單的定積分,能利用定積分的幾何意義求面積.
[課時(shí)建議] 8課時(shí).
[重點(diǎn)與難點(diǎn)]
(1) 利用求導(dǎo)公式、運(yùn)算法則求導(dǎo)函數(shù)。
(2) 重視利用導(dǎo)數(shù)定義和幾何意義解題,導(dǎo)函數(shù)的幾何意義是過曲線上點(diǎn)作曲線切線的斜率,導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)意義是其符號(hào)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性。
(3) 理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.
(4) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
(5) 會(huì)求簡單函數(shù)的定積分.
[07年新課程地區(qū)高考試卷統(tǒng)計(jì)分析]
知識(shí)點(diǎn) |
題型 |
廣東 |
山東 |
寧夏海南 |
|
含有全稱命題的否定 |
選擇 |
|
√ |
√ |
|
對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、集合運(yùn)算 |
選擇 |
√ |
|
|
|
指數(shù)不等式、集合運(yùn)算 |
選擇 |
|
√ |
|
|
函數(shù)的圖象 |
選擇 |
√ |
|
|
|
冪函數(shù)、函數(shù)奇偶性 |
選擇 |
|
√ |
|
|
充要條件 |
選擇 |
|
√ |
|
|
過曲線上點(diǎn)的切線所圍成的面積 |
選擇 |
|
|
√ |
|
已知函數(shù)奇偶性求參數(shù) |
填空 |
|
|
√ |
|
對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的定點(diǎn)、基本不等式 |
填空 |
|
√ |
|
|
二次函數(shù)的零點(diǎn) |
解答 |
√ |
|
|
|
以自然對(duì)數(shù)為背景的極值等問題 |
解答 |
|
√ |
√ |
|
以二次函數(shù)、二次方程的根、導(dǎo)數(shù)為背景的數(shù)列問題 |
解答 |
√ |
|
|
|
集合、運(yùn)算信息題 |
選擇 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 山東卷和海南卷,在選擇填空題對(duì)于新課標(biāo)新增內(nèi)容以中等難度的題目出現(xiàn),體現(xiàn)了新課程的理念。
[典型例題]
例1:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
解:略.
分析:這是一類雙曲線型的特殊函數(shù),有對(duì)稱中心,對(duì)稱軸,漸近線??蓪?duì)以上的例題進(jìn)行推廣變形。
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(4)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(5)證明在上是增函數(shù).
例2:對(duì)于函數(shù)
(1)討論的奇偶性;(2)討論的單調(diào)性;(3)求此函數(shù)的值域.
解:略.
例3:已知函數(shù)的定義域是,當(dāng)時(shí),,且
(1)求; (2)證明:在定義域上是增函數(shù).
解:略。
分析:利用抽象函數(shù)的任意性,取特殊值進(jìn)行求解。判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性,要注意掌握一些變形的技巧??梢赃M(jìn)行推廣。
1. 已知函數(shù)的定義域是,當(dāng)時(shí),,且
(1)求; (2)證明:在定義域上是增函數(shù).
2. 已知函數(shù)對(duì)于,都有
(1)求證:是奇函數(shù); (2)若,用表示.
例4:(07全國二卷)已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)設(shè),如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線,證明:
解:(1)的導(dǎo)數(shù).曲線在點(diǎn)處的切線方程為:,即.
(2)如果有一條切線過點(diǎn),則存在,使.
若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.記,則.
當(dāng)變化時(shí),變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
增函數(shù) |
極大值 |
減函數(shù) |
極小值 |
增函數(shù) |
由的單調(diào)性,當(dāng)極大值或極小值時(shí),方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時(shí),解方程得,即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時(shí),解方程得,即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.
綜上,如果過可作曲線三條切線,即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則即 .
例5:(07山東理)設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅱ)求函數(shù)的極值點(diǎn);
(Ⅲ)證明對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立.
解(I) 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image090.gif">.
,
令,則在上遞增,在上遞減,
.當(dāng)時(shí),,
在上恒成立.
即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。
(II)分以下幾種情形討論:(1)由(I)知當(dāng)時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn).
(2)當(dāng)時(shí),,時(shí),
時(shí),時(shí),函數(shù)在上無極值點(diǎn)。
(3)當(dāng)時(shí),解得兩個(gè)不同解,.
當(dāng)時(shí),,,
此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).
當(dāng)時(shí),
在都大于0 ,在上小于0 ,
此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).
綜上可知,時(shí),在上有唯一的極小值點(diǎn);
時(shí),有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn);
時(shí),函數(shù)在上無極值點(diǎn)。
(III) 當(dāng)時(shí),
令則在上恒正,
在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),恒有.
即當(dāng)時(shí),有,
對(duì)任意正整數(shù),取得
單元練習(xí)
1. 設(shè)集合N}的真子集的個(gè)數(shù)是 ( )
A.16 B.8; C.7 D.4
2. 已知命題:,則( )
A. B.
C. D.
3. 若二次函數(shù)的定義域?yàn)閇0,3],則此二次函數(shù)的值域?yàn)?/p>
A. B. [-3,0] C. [-3,1] D.
4. 已知,則( )
A. B. C. D.
5. 在區(qū)間上的最大值是
A.-2 B.0 C.2 D.4
6. 已知為偶函數(shù),定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image042.gif">,在上是減函數(shù),那么與的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
7. 設(shè),是二次函數(shù),若的值域是,則的值域是( )
A. B. C. D.
8. 如圖所示,fi(x)(i=1,2,3,4)是定義在[0,1]上的四個(gè)函數(shù),其中滿足性質(zhì):“對(duì)[0,1]中任意的x1和x2,任意λ∈[0,1],f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有( )
f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
A.f1(x),f3(x) B.f2(x) C.f2(x),f3(x) D.f4(x)
9. 某種細(xì)菌每20分鐘分裂一次,經(jīng)過 次分裂后,這種細(xì)菌可以由1個(gè)分裂成64個(gè).
10. 函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件,若則__________.
11. 若函數(shù)的定義域是,則的定義域?yàn)?u> ; 的定義域?yàn)?u> .
12. 函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,則的最小值為 .
13. 曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 .
14. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)m>0,使對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,則稱為F函數(shù).給出下列函數(shù):
①;②;③;④;
⑤是定義在R上的奇函數(shù),且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x1、x2均有 .其中是F函數(shù)的序號(hào)為_____________________.
15. (12分)設(shè),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
16. (12分) ) 已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值,其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),,如圖所示.求:
(Ⅰ)的值;(Ⅱ)的值.
17. (14分)已知函數(shù)
(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)判斷函數(shù)分別在區(qū)間、上的單調(diào)性, 并加以證明;
(3)若, 求證: .
18. (14分)已知集合是滿足下列性質(zhì)函數(shù)的全體:若函數(shù)的定義域?yàn)镈,對(duì)于任意的(),有。
(I)當(dāng)D=時(shí),是否屬于,若屬于,給予證明。否則說明理由;
(II)當(dāng)D=時(shí),函數(shù)時(shí),若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
19. (14分)對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image212.gif">. 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度.
(1)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;
(2)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.
20. 設(shè)函數(shù)
(I)若當(dāng)時(shí),取得極值,求的值,并討論的單調(diào)性;
(II)若存在極值,求的取值范圍,并證明所有極值之和大于.
集合、邏輯聯(lián)結(jié)詞、函數(shù)(理科)高考備考建議 東莞中學(xué) 龐進(jìn)發(fā)參考答案
參考答案
1.C 2. C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9. 6 10.
11. ; 12. 4 13. 14. ①④⑤
15. 解:由.
∵,∴.
當(dāng),即無實(shí)根,由,
即,解得;
當(dāng)時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系:;
當(dāng)時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系:;
當(dāng)時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系:;
綜上所得.
16. 解法一: (Ⅰ)由圖象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.
(Ⅱ)由 得解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè)
又所以
由,即得, 所以.
17. 解:(1) 當(dāng)時(shí),,
則
∴ 當(dāng)時(shí), ,
則,
∴
綜上所述, 對(duì)于, 都有,∴ 函數(shù)是偶函數(shù)。
(2)當(dāng)時(shí),
設(shè), 則.
當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), ,
∴ 函數(shù)在上是減函數(shù), 函數(shù)在上是增函數(shù)。
(3)由(2)知, 當(dāng)時(shí), ,
又由(1)知, 函數(shù)是偶函數(shù), ∴ 當(dāng)時(shí), ,
∴若, , 則 , ,
∴, 即.
18.解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image287.gif">,所以時(shí),,
即. 當(dāng)時(shí),;
(2)由,
當(dāng)時(shí),,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image296.gif">,
所以,即;
所以即為所求.
評(píng)析:本題應(yīng)用常規(guī)解法,解答較為繁瑣;若用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,則十分簡單。
19. 解:(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少.
(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得
,(*)
于是+
當(dāng)為定值時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)
將代入(*)式得
故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為
, 最少總用水量是.
當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單
調(diào)性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.
20. 解:(Ⅰ),依題意有,故.
從而.
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image323.gif">,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
從而,分別在區(qū)間單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減少.
(Ⅱ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image329.gif">,.
方程的判別式.
(ⅰ)若,即,在的定義域內(nèi),故的極值.
(ⅱ)若,則或.
若,,.
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以無極值.
若,,,也無極值.
(ⅲ)若,即或,則有兩個(gè)不同的實(shí)根,.
當(dāng)時(shí),,從而有的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn),故無極值.
當(dāng)時(shí),,,在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),由根值判別方法知在取得極值.
綜上,存在極值時(shí),的取值范圍為.
的極值之和為
.
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com