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19. (14分)對1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image212.gif">. 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度.
(1)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;
(2)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響.
參考答案
1.C 2. C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9. 6 10.
11. ; 12. 4 13. 14. ①④⑤
15. 解:由.
∵,∴.
當(dāng),即無實(shí)根,由,
即,解得;
當(dāng)時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系:;
當(dāng)時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系:;
當(dāng)時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系:;
綜上所得.
16. 解法一: (Ⅰ)由圖象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.
(Ⅱ)由 得解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè)
又所以
由,即得, 所以.
17. 解:(1) 當(dāng)時(shí),,
則
∴ 當(dāng)時(shí), ,
則,
∴
綜上所述, 對于, 都有,∴ 函數(shù)是偶函數(shù)。
(2)當(dāng)時(shí),
設(shè), 則.
當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), ,
∴ 函數(shù)在上是減函數(shù), 函數(shù)在上是增函數(shù)。
(3)由(2)知, 當(dāng)時(shí), ,
又由(1)知, 函數(shù)是偶函數(shù), ∴ 當(dāng)時(shí), ,
∴若, , 則 , ,
∴, 即.
18.解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image287.gif">,所以時(shí),,
即. 當(dāng)時(shí),;
(2)由,
當(dāng)時(shí),,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image296.gif">,
所以,即;
所以即為所求.
評析:本題應(yīng)用常規(guī)解法,解答較為繁瑣;若用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,則十分簡單。
19. 解:(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少.
(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得
,(*)
于是+
當(dāng)為定值時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.此時(shí)
將代入(*)式得
故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為
, 最少總用水量是.
當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單
調(diào)性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.
20. 解:(Ⅰ),依題意有,故.
從而.
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image323.gif">,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
從而,分別在區(qū)間單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減少.
(Ⅱ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383768_1/image329.gif">,.
方程的判別式.
(ⅰ)若,即,在的定義域內(nèi),故的極值.
(ⅱ)若,則或.
若,,.
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以無極值.
若,,,也無極值.
(ⅲ)若,即或,則有兩個(gè)不同的實(shí)根,.
當(dāng)時(shí),,從而有的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn),故無極值.
當(dāng)時(shí),,,在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),由根值判別方法知在取得極值.
綜上,存在極值時(shí),的取值范圍為.
的極值之和為
.