8．(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題 當具有什么關系時，二次函數(shù)的函數(shù)值恒大于零？恒小于零？ 變式1：已知函數(shù) f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ． (I)若函數(shù) f (x) 的定義域為 R，求實數(shù) a 的取值范圍； (II)若函數(shù) f (x) 的值域為 R，求實數(shù) a 的取值范圍． 變式2：已知函數(shù)，若時，有恒成立，求的取值范圍． 變式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不論 a、b 為何實數(shù)，恒有 f (sin a )≥0，f (2 + cos b )≤0． (I) 求證：b + c = －1； (II) 求證： c≥3； (III) 若函數(shù) f (sin a ) 的最大值為 8，求 b、c 的值．

9．(北師大版第54頁B組第1題)根與系數(shù)關系 右圖是二次函數(shù)的圖像，它與x軸交于點和，試確定以及，的符號． 變式1：二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一個直角坐標系的圖像為 　　　　 　 變式2：直線與拋物線 中至少有一條相交，則m的取值范圍是． 變式3：對于函數(shù) f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，則稱 x0 為 f (x) 的不動點．如果函數(shù) f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有兩個相異的不動點 x1、x2． (I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的圖象關于直線 x = m 對稱，求證m > ； (II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范圍．

10．(北師大版第52頁例3)應用 綠緣商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料．根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若每瓶售價每降低0.05元，則可多銷售40瓶．在每月的進貨量當月銷售完的前提下，請你給該商店設計一個方安：銷售價應定為多少元和從工廠購進多少瓶時，才可獲得最大的利潤？ 變式1：在拋物線與x軸所圍成圖形的內接矩形(一邊在x軸上)中(如圖)，求周長最長的內接矩形兩邊之比，其中a是正實數(shù)． 變式2：某民營企業(yè)生產A，B兩種產品，根據(jù)市場調查與預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖一；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖二(注：利潤和投資單位：萬元) (1)　　　 分別將A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式； (2)　　　 該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少元(精確到1萬元)？ 變式3：設a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a) ． (Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)試求滿足的所有實數(shù)a． 二次函數(shù)答案

1．(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法 變式1： 解：由題意可知，解得，故選D． 變式2： 解：由題意可知，解得b=0，∴，解得c=2． 變式3：解：由題意可設所求二次函數(shù)的解析式為， 展開得， ∴， ∴，即，解得． 所以，該二次函數(shù)的圖像是由的圖像向上平移 單位得到的，它的解析式是，即．

2．(北師大版第52頁例2)圖像特征 變式1： 解：根據(jù)題意可知，∴ ，故選D． 變式2： 解：∵，∴拋物線的對稱軸是， ∴　 即， ∴，∴、、， 故有，選C． 變式3： 解：觀察函數(shù)圖像可得： ①　　 a>0(開口方向)；② c=1(和y軸的交點)； ③ (和x軸的交點)；④()； ⑤ (判別式)；⑥ (對稱軸)．

4．(人教A版第43頁B組第1題)最值 變式1： 解：作出函數(shù)的圖像， 開口向上，對稱軸上x=1，頂點是(1，2)，和y軸的交點是(0，3)， ∴m的取值范圍是，故選C． 變式2： 解：函數(shù)有意義，應有，解得， ∴　 　Þ 　Þ ， ∴　 M=6，m=0，故M + m=6． 變式3： 解：函數(shù)的表達式可化為． ① 當，即時，有最小值，依題意應有，解得，這個值與相矛盾． ②當，即時，是最小值，依題意應有，解得，又∵，∴為所求． ③當，即時，是最小值， 依題意應有，解得，又∵，∴為所求． 綜上所述，或．

5．(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性 變式1： 解：函數(shù)是偶函數(shù) Þ 　Þ ， 當時，是常數(shù)；當時，，在區(qū)間上是增函數(shù)，故選D． 變式2：解：根據(jù)題意可知應有且，即且，∴點的坐標是． 變式3： 解：(I)當時，函數(shù)，此時，為偶函數(shù)； 當時，，， ，，此時既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (II)(i)當時，， 若，則函數(shù)在上單調遞減，從而函數(shù)在上的最小值為． 若，則函數(shù)在上的最小值為，且． (ii)當時，函數(shù)， 若，則函數(shù)在上的最小值為，且， 若，則函數(shù)在上單調遞增，從而函數(shù)在上的最小值為． 綜上，當時，函數(shù)的最小值為； 當時，函數(shù)的最小值為； 當時，函數(shù)的最小值為．

6．(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換 變式1： 解：函數(shù)可轉化為二次函數(shù)，作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調區(qū)間． 當時，， 當時，． 作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調區(qū)間． 在和上，函數(shù)是增函數(shù)；在和上，函數(shù)是減函數(shù)． 變式2： 解：若則，顯然不是偶函數(shù)，所以①是不正確的； 若則，滿足，但的圖像不關于直線x=1對稱，所以②是不正確的； 若，則，圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是，∴在區(qū)間[a，+∞上是增函數(shù)，即③是正確的； 顯然函數(shù)沒有最大值，所以④是不正確的． 變式3： 解：， (1)當c=0時，，滿足，是奇函數(shù)，所以①是正確的； (2)當b=0，c>0時，， 方程即　或　， 顯然方程無解；方程的唯一解是　，所以② 是正確的； (3)設是函數(shù)圖像上的任一點，應有， 而該點關于(0，c)對稱的點是，代入檢驗即，也即，所以也是函數(shù)圖像上的點，所以③是正確的； (4)若，則，顯然方程有三個根，所以④ 是不正確的．

7．(北師大版第54頁A組第6題)值域 變式1： 解：作出函數(shù)的圖象，容易發(fā)現(xiàn)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，求出，，，注意到函數(shù)定義不包含，所以函數(shù)值域是． 變式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]， 則y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]， ∴y Î [－2, ]，即原函數(shù)的值域是[－2, ]． 變式3： 解：(I) ∵　 f (1 + x) = f (1－x)， ∴ －　= 1， 又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根， ∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －， ∴ f (x) = －x 2 + x． (II) ∵　　 f (x) 為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = 1， 1° 當 m≥1 時，f (x) 在 [m,n] 上是減函數(shù)， ∴　 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n　　　 (*)， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m， 兩式相減得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)， ∵　　 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化簡得：n 2－8n + 48 = 0 無實數(shù)解． 2° 當 n≤1 時，f (x) 在 [m,n] 上是增函數(shù)， ∴　 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n， ∴　　 m = －4，n = 0． 3° 當 m≤1≤n 時，對稱軸 x = 1 Î [m,n]， ∴　 3n = f (x)max = f (1) = 　Þ n = 與 n≥1 矛盾． 綜合上述知，存在 m = －4、n = 0 滿足條件．

8．(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題 變式1： 解：(I) 函數(shù) f (x) 的定義域為 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集為 R， ∴應有　 　Þ a > 1， ∴　 實數(shù) a 的取值范圍是(1,+¥) ． (II) 函數(shù) f (x) 的值域為 R，即a x 2 + 2x + 1 能夠取 (0,+¥) 的所有值． 1° 當 a = 0 時，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1滿足要求； 2° 當 a ≠ 0 時，應有　Þ 0 < a≤1． ∴　 實數(shù) a 的取值范圍是[0,1] ． 變式2： 解法一：(轉化為最值) 在上恒成立，即在上恒成立． ⑴， ； ⑵，． 綜上所述． 解法二：(運用根的分布) ⑴當，即時，應有， 即，不存在； ⑵當，即時，應有， 即，； ⑶當，即時，應有，即　， 綜上所述． 變式3： 證明：(I) 依題意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0， ∴　　 f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = －1， (II)　　　 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c 　　　 (*) ∵　 f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0 Þ (1 + cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，對任意 b 成立． ∵　 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ， ∴　 c≥(2 + cos b )max = 3． (III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a－(c + 1) sin a + c， 設 t = sin a ，則g(t) = f (sin a ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1， 這是一開口向上的拋物線，對稱軸為 t = ， 由 (II) 知：t≥= 2， ∴ g(t) 在 [－1,1] 上為減函數(shù)． ∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3 ∴ b = －c－1 = －4．