1.(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法
若,且,,求的值.
變式1:若二次函數(shù)的圖像的頂點坐標為,與y軸的交點坐標為(0,11),則
A. B.
C. D.
變式2:若的圖像x=1對稱,則c=_______.
變式3:若二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個不同的交點、,且,試問該二次函數(shù)的圖像由的圖像向上平移幾個單位得到?
2.(北師大版第52頁例2)圖像特征
將函數(shù)配方,確定其對稱軸,頂點坐標,求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值,并畫出它的圖像.
變式1:已知二次函數(shù),如果(其中),則
A. B. C. D.
變式2:函數(shù)對任意的x均有,那么、、的大小關系是
A. B.
C. D.
變式3:已知函數(shù)的圖像如右圖所示,
請至少寫出三個與系數(shù)a、b、c有關的正確命題_________.
3.(人教A版第43頁B組第1題)單調(diào)性
已知函數(shù),.
(1)求,的單調(diào)區(qū)間;(2) 求,的最小值.
變式1:已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是
A. B. C. D.
變式2:已知函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù),那么的取值范圍是_________.
變式3:已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
4.(人教A版第43頁B組第1題)最值
已知函數(shù),.
(1)求,的單調(diào)區(qū)間;(2) 求,的最小值.
變式1:已知函數(shù)在區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是
A. B. C. D.
變式2:若函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則M + m的值等于________.
變式3:已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3,求a的值.
5.(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性
已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當≥0時,.畫出函數(shù)的圖像,并求出函數(shù)的解析式.
變式1:若函數(shù)是偶函數(shù),則在區(qū)間上是
A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.常數(shù) D.可能是增函數(shù),也可能是常數(shù)
變式2:若函數(shù)是偶函數(shù),則點的坐標是________.
變式3:設為實數(shù),函數(shù),.
(I)討論的奇偶性;(II)求的最小值.
6.(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換
已知.
(1)畫出函數(shù)的圖象;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)求函數(shù)的最大值和最小值.
變式1:指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
變式2:已知函數(shù).
給下列命題:①必是偶函數(shù);
② 當時,的圖像必關于直線x=1對稱;
③ 若,則在區(qū)間[a,+∞上是增函數(shù);
④有最大值.
其中正確的序號是________.③
變式3:設函數(shù)給出下列4個命題:
①當c=0時,是奇函數(shù);
②當b=0,c>0時,方程只有一個實根;
③的圖象關于點(0,c)對稱;
④方程至多有兩個實根.
上述命題中正確的序號為 .
7.(北師大版第54頁A組第6題)值域
求二次函數(shù)在下列定義域上的值域:
(1)定義域為;(2) 定義域為.
變式1:函數(shù)的值域是
A. B. C. D.
變式2:函數(shù)y=cos2x+sinx的值域是__________.
變式3:已知二次函數(shù) f (x) = a x 2 + bx(a、b 為常數(shù),且 a ≠ 0),滿足條件 f (1 + x) = f (1-x),且方程 f (x) = x 有等根.
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)是否存在實數(shù) m、n(m < n),使 f (x) 的定義域和值域分別為 [m,n] 和 [3m,3n],如果
存在,求出 m、n 的值,如果不存在,說明理由.
8.(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題
當具有什么關系時,二次函數(shù)的函數(shù)值恒大于零?恒小于零?
變式1:已知函數(shù) f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) .
(I)若函數(shù) f (x) 的定義域為 R,求實數(shù) a 的取值范圍;
(II)若函數(shù) f (x) 的值域為 R,求實數(shù) a 的取值范圍.
變式2:已知函數(shù),若時,有恒成立,求的取值范圍.
變式3:若f (x) = x 2 + bx + c,不論 a、b 為何實數(shù),恒有 f (sin a )≥0,f (2 + cos b )≤0.
(I) 求證:b + c = -1;
(II) 求證: c≥3;
(III) 若函數(shù) f (sin a ) 的最大值為 8,求 b、c 的值.
9.(北師大版第54頁B組第1題)根與系數(shù)關系
右圖是二次函數(shù)的圖像,它與x軸交于點和,試確定以及,的符號.
變式1:二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一個直角坐標系的圖像為
變式2:直線與拋物線
中至少有一條相交,則m的取值范圍是.
變式3:對于函數(shù) f (x),若存在 x0 Î R,使 f (x0) = x0 成立,則稱 x0 為 f (x) 的不動點.如果函數(shù) f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有兩個相異的不動點 x1、x2.
(I)若 x1 < 1 < x2,且 f (x) 的圖象關于直線 x = m 對稱,求證m > ;
(II)若 | x1 | < 2 且 | x1-x2 | = 2,求 b 的取值范圍.
10.(北師大版第52頁例3)應用
綠緣商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料.根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù),若零售價定為每瓶4元,每月可銷售400瓶;若每瓶售價每降低0.05元,則可多銷售40瓶.在每月的進貨量當月銷售完的前提下,請你給該商店設計一個方安:銷售價應定為多少元和從工廠購進多少瓶時,才可獲得最大的利潤?
變式1:在拋物線與x軸所圍成圖形的內(nèi)接矩形(一邊在x軸上)中(如圖),求周長最長的內(nèi)接矩形兩邊之比,其中a是正實數(shù).
變式2:某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關系如圖一;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關系如圖二(注:利潤和投資單位:萬元)
(1) 分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式;
(2) 該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少元(精確到1萬元)?
變式3:設a為實數(shù),記函數(shù)的最大值為g(a) .
(Ⅰ)求g(a);(Ⅱ)試求滿足的所有實數(shù)a.
二次函數(shù)答案
1.(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法
變式1: 解:由題意可知,解得,故選D.
變式2: 解:由題意可知,解得b=0,∴,解得c=2.
變式3:解:由題意可設所求二次函數(shù)的解析式為,
展開得,
∴,
∴,即,解得.
所以,該二次函數(shù)的圖像是由的圖像向上平移 單位得到的,它的解析式是,即.
2.(北師大版第52頁例2)圖像特征
變式1: 解:根據(jù)題意可知,∴ ,故選D.
變式2: 解:∵,∴拋物線的對稱軸是,
∴ 即,
∴,∴、、,
故有,選C.
變式3: 解:觀察函數(shù)圖像可得:
① a>0(開口方向);② c=1(和y軸的交點);
③ (和x軸的交點);④();
⑤ (判別式);⑥ (對稱軸).
3.(人教A版第43頁B組第1題)單調(diào)性
變式1: 解:函數(shù)圖像是開口向上的拋物線,其對稱軸是,
由已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間應在直線的左側(cè),
∴,解得,故選D.
變式2:解:函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù),由于其圖像(拋物線)開口向上,所以其對稱軸或與直線重合或位于直線的左側(cè),即應有,解得,
∴ ,即.
變式3:解:函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線,經(jīng)過坐標原點,對稱軸是,
∵ 已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),∴ 區(qū)間應在直線的左側(cè)或右側(cè),
即有或,解得或.
4.(人教A版第43頁B組第1題)最值
變式1: 解:作出函數(shù)的圖像,
開口向上,對稱軸上x=1,頂點是(1,2),和y軸的交點是(0,3),
∴m的取值范圍是,故選C.
變式2: 解:函數(shù)有意義,應有,解得,
∴ Þ Þ ,
∴ M=6,m=0,故M + m=6.
變式3: 解:函數(shù)的表達式可化為.
① 當,即時,有最小值,依題意應有,解得,這個值與相矛盾.
②當,即時,是最小值,依題意應有,解得,又∵,∴為所求.
③當,即時,是最小值,
依題意應有,解得,又∵,∴為所求.
綜上所述,或.
5.(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性
變式1: 解:函數(shù)是偶函數(shù) Þ Þ ,
當時,是常數(shù);當時,,在區(qū)間上是增函數(shù),故選D.
變式2:解:根據(jù)題意可知應有且,即且,∴點的坐標是.
變式3: 解:(I)當時,函數(shù),此時,為偶函數(shù);
當時,,,
,,此時既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(II)(i)當時,,
若,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,從而函數(shù)在上的最小值為.
若,則函數(shù)在上的最小值為,且.
(ii)當時,函數(shù),
若,則函數(shù)在上的最小值為,且,
若,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而函數(shù)在上的最小值為.
綜上,當時,函數(shù)的最小值為;
當時,函數(shù)的最小值為;
當時,函數(shù)的最小值為.
6.(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換
變式1: 解:函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),作出函數(shù)圖像,由圖像可得單調(diào)區(qū)間.
當時,,
當時,.
作出函數(shù)圖像,由圖像可得單調(diào)區(qū)間.
在和上,函數(shù)是增函數(shù);在和上,函數(shù)是減函數(shù).
變式2: 解:若則,顯然不是偶函數(shù),所以①是不正確的;
若則,滿足,但的圖像不關于直線x=1對稱,所以②是不正確的;
若,則,圖像是開口向上的拋物線,其對稱軸是,∴在區(qū)間[a,+∞上是增函數(shù),即③是正確的;
顯然函數(shù)沒有最大值,所以④是不正確的.
變式3: 解:,
(1)當c=0時,,滿足,是奇函數(shù),所以①是正確的;
(2)當b=0,c>0時,,
方程即 或 ,
顯然方程無解;方程的唯一解是 ,所以② 是正確的;
(3)設是函數(shù)圖像上的任一點,應有,
而該點關于(0,c)對稱的點是,代入檢驗即,也即,所以也是函數(shù)圖像上的點,所以③是正確的;
(4)若,則,顯然方程有三個根,所以④ 是不正確的.
7.(北師大版第54頁A組第6題)值域
變式1: 解:作出函數(shù)的圖象,容易發(fā)現(xiàn)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),求出,,,注意到函數(shù)定義不包含,所以函數(shù)值域是.
變式2:解:∵ y= cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令t= sinx Î [-1,1],
則y=-2t2+t+1,其中tÎ [-1,1],
∴y Î [-2, ],即原函數(shù)的值域是[-2, ].
變式3: 解:(I) ∵ f (1 + x) = f (1-x),
∴ - = 1,
又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b-1) x = 0 有等根,
∴ △= (b-1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = -,
∴ f (x) = -x 2 + x.
(II) ∵ f (x) 為開口向下的拋物線,對稱軸為 x = 1,
1° 當 m≥1 時,f (x) 在 [m,n] 上是減函數(shù),
∴ 3m = f (x)min = f (n) = -n 2 + n (*),
3n = f (x)max = f (m) = -m 2 + m,
兩式相減得:3 (m-n) = -(n 2-m 2) + (n-m),
∵ 1≤m < n,上式除以 m-n 得:m + n = 8,
代入 (*) 化簡得:n 2-8n + 48 = 0 無實數(shù)解.
2° 當 n≤1 時,f (x) 在 [m,n] 上是增函數(shù),
∴ 3m = f (x)min = f (m) = -m 2 + m,
3n = f (x)max = f (n) = -n 2 + n,
∴ m = -4,n = 0.
3° 當 m≤1≤n 時,對稱軸 x = 1 Î [m,n],
∴ 3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 與 n≥1 矛盾.
綜合上述知,存在 m = -4、n = 0 滿足條件.
8.(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題
變式1: 解:(I) 函數(shù) f (x) 的定義域為 R,即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集為 R,
∴應有 Þ a > 1,
∴ 實數(shù) a 的取值范圍是(1,+¥) .
(II) 函數(shù) f (x) 的值域為 R,即a x 2 + 2x + 1 能夠取 (0,+¥) 的所有值.
1° 當 a = 0 時,a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1滿足要求;
2° 當 a ≠ 0 時,應有 Þ 0 < a≤1.
∴ 實數(shù) a 的取值范圍是[0,1] .
變式2: 解法一:(轉(zhuǎn)化為最值)
在上恒成立,即在上恒成立.
⑴, ;
⑵,.
綜上所述.
解法二:(運用根的分布)
⑴當,即時,應有, 即,不存在;
⑵當,即時,應有,
即,;
⑶當,即時,應有,即 ,
綜上所述.
變式3: 證明:(I) 依題意,f (sin ) = f (1)≥0,f (2 + cos p) = f (1)≤0,
∴ f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = -1,
(II) 由 (I) 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2-(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0
Þ (1 + cos b ) [c-(2 + cos b )]≥0,對任意 b 成立.
∵ 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ,
∴ c≥(2 + cos b )max = 3.
(III) 由 (*) 得:f (sin a ) = sin 2a-(c + 1) sin a + c,
設 t = sin a ,則g(t) = f (sin a ) = t 2-(c + 1) t + c,-1≤t≤1,
這是一開口向上的拋物線,對稱軸為 t = ,
由 (II) 知:t≥= 2,
∴ g(t) 在 [-1,1] 上為減函數(shù).
∴ g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8,
∴ c = 3
∴ b = -c-1 = -4.
9.(北師大版第54頁B組第1題)根與系數(shù)關系
變式1: 解:二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象交于兩點、,由二次函
數(shù)圖象知同號,而由中一次函數(shù)圖象知異號,互相矛盾,故舍去.
又由知,當時,,此時與中圖形不符,當時,,與中圖形相符.
變式2: 解:原命題可變?yōu)椋呵蠓匠?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383795_1/image277.gif">,,
中至少有一個方程有實數(shù)解,而此命題的反面是:“三個方程均無實數(shù)解”,于是,從全體實數(shù)中除去三個方程均無實數(shù)解的的值,即得所求.
解不等式組得 ,
故符合條件的取值范圍是或.
變式3: 解:(I) 由 f (x) 表達式得 m = -,
∵ g(x) = f (x)-x = a x 2 + (b-1) x + 1,a > 0,
由 x1,x2 是方程 f (x) = x的兩相異根,且 x1 < 1 < x2,
∴ g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ -> 1 Þ -> ,即 m > .
(II) △= (b-1) 2-4a > 0 Þ (b-1) 2 > 4a,
x1 + x2 = ,x1x2 = ,
∴ | x1-x2 | 2 = (x1 + x2) 2-4x1x2 = () 2-= 2 2,
∴ (b-1) 2 = 4a + 4a 2 (*)
又 | x1-x2 | = 2,
∴ x1、x2 到 g(x) 對稱軸 x = 的距離都為1,
要 g(x) = 0 有一根屬于 (-2,2),
則 g(x) 對稱軸 x = Î (-3,3),
∴ -3 < < 3 Þ a > | b-1 |,
把代入 (*) 得:(b-1) 2 > | b-1 | + (b-1) 2,
解得:b < 或 b > ,
∴ b 的取值范圍是:(-¥, )∪( ,+¥).
10.(北師大版第52頁例3)應用
變式1: 解:設矩形ABCD在x軸上的邊是BC,BC的長是x(0<x<a),
則B點的坐標為,A點的坐標為.
設矩形ABCD的周長為P,
則P=2(0<x<a).
① 若a>2,則當x=2時,矩形的周長P有最大值,這時矩形兩邊的長分別為2和,兩邊之比為8:;
②若0 <a≤2,此時函數(shù)P=無最大值,也就是說周長最大的內(nèi)接矩形不存在.
綜上所述,當a>2時,周長最大的內(nèi)接矩形兩邊之比為8:;當0 <a≤2時,周長最大的內(nèi)接矩形不存在.
變式2: 解:(I) 依題意設 A、B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式分別為
f (x) = kx,g(x) = m,
由 f (1) = k = 0.25, g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ,
∴ f (x) = x(x≥0),g(x) = .
(II) 設企業(yè)在 B 產(chǎn)品投資 x 萬元,則在 A 產(chǎn)品投資 10-x 萬元,
∴ 企業(yè)的利潤 y = (10-x) + = [-(-) 2 + ](0≤x≤10),
∴ = ,即 x = 6.25 萬元時,企業(yè)獲得最大利潤 ≈4 萬元.
答:在 A 產(chǎn)品投資 3.75 萬元,在 B 產(chǎn)品投資 6.25 萬元,企業(yè)獲得最大利潤約 4 萬元.
變式3: 解:設,要使有意義,必須且,即,
∵,且……①
∴的取值范圍是.
由①得:,
不妨設,.
(I)由題意知即為函數(shù),的最大值,
當時,,,有=2;
當時,此時直線是拋物線的對稱軸,
∴可分以下幾種情況進行討論:
(1)當時,函數(shù),的圖象是開口向上的拋物線的一段,
由知在上單調(diào)遞增,故;
(2)當時,,函數(shù),的圖象是開口向下的拋物線的一段,
若即時,,
若即時,,
若即時,.
綜上所述,有=.
(II)若a>0,則>0,此時g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=-1);
若-<a<0,則<-2,此時g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=-2+<-(舍去);
若-<a≤-,則-2≤<-,
此時g(a)=g( ) Û -a-= Þ a=- (舍去);
若-≤a≤-,則-≤≤-,
此時g(a)=g( ) Û =恒成立;
若-2≤a<-,則-<≤-,
此時g(a)=g( ) Û =-a-Þ a=- (舍去);
若a<-2,則-<<0,
此時g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=-2+>-2 (舍去) .
綜上所述,滿足的所有實數(shù)a為:或.