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7.已知向量=(2,1), =(1,7), =(5,1),設(shè)X是直線OP上的一點(O為坐標(biāo)原點),那么的最小值是
A.-16 B.-8 C.0 D.4
參考答案
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.
1.C. 2.A 3.A 4.D 5.C 6. B
7.B 8.B 9.B 10.D
二、
11. 12. 13.[-1,3](填(-1,3)也算對)
14.①③②④由①知與同號,故②成立;再由③得故④成立
15.①②③④
三、解答題(本大題共6題80分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
16.解:①f(x)=sin(2x+)+[2cos2 (x+-1)]
=sin (2x+)+cos (2x+)=2cos (2x+-)…………………(3分)
(或f(x)=2sin(2x++))
∴f(x)的最小正周期為…………………………………………4分
②f(-x)=cos (-2x+-)=cos[2x-(-)]=cos2xcos (-)+sin2xsin(-)
f(x)=cos(2x+(-)=cos2xcos(-)-sin2xsin(-)……………………(6分)
∵f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x)即sin2xsin(-)=0,∴sin(-)=0
∵0≤≤,-≤-≤,∴(-)=0,=………………………(8分)
③由f(x)=1得2cos2x=1,∴cos2x=………………………………(10分)
∵x∈[,],∴x=±或x=±
所以x的集合是{-,,-,}…………………………(12分)
17.解:(I)證明:取A1B1的中點F,連EF,C1F
|
|
∴四邊形EFC1M為平行四邊形
∴EM∥FC1……………………4分
而EM平面A1B1C1D1,F(xiàn)C1平面A1B1C1D1
∴EM∥平面A1B1C1D1……………………5分
(II)由(I)EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N∥EM∥FC1
∴N為C1D1中點
過B1作B1H⊥A1N于H,連BH,根據(jù)三垂線定理BH⊥A1N
∴∠BHB1即為二面角B-A1N-B1的平面角…………………8分
設(shè)AA1=a,則AB=2a,∵A1B1C1D1為正方形
∴A1N=a,又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H=
在Rt△BB1H,tan∠BHB1===
即二面角B-A1N-B1的正切值為……………………………………12分
(B)(I)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2a,AA1=a(a >0),則
A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a)………………2分
∵E為A1B的中點,M為CC1的中點 ∴E(2a,a,),M(0,2a,)
∴EM∥平面A1B1C1D1……………………………………5分
(II)設(shè)平面A1BM的法向量為n=(x,y,z)
又A1B=(0,2a,-a) BM=(-2a,0,)
|
2ay-az=0
,∴
?。?ax+=0
∴取n=()………………………………9分
而平面A1B1C1D1的法向量n1=(0,0,1),設(shè)二面角為,則
又:二面角為銳二面角 ∴cos=,……………11分
從而tan=………………………………………………………………12分
18、解:(I)由已知a2-a1=-2,a3-a2=-1,則{Cn}的公差為1………………1分
∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1)=n-3,即Cn=n-3……………………3分
(II)n≥2時,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6=
當(dāng)n=1也適合上式,∴an=(n∈N*)………………………………5分
又b1-2=4、b2-2=2。而 ∴bn-2=(b1-2).
即bn=2+
∴數(shù)列{an}、{bn}的通項公式為:an=,bn=2+…………7分
(III)
解法一:設(shè)f(k)=ak-bk=k2-K+7-8.=(k-)2+-8.……9分
當(dāng)k≥4時(k-)2+為k的增函數(shù),-8.也為k的增函數(shù),
∴當(dāng)k≥4時f(k)=ak-bk為k的增函數(shù)………………………………10分
而f(4)= ,∴當(dāng)k≥4時ak-bk≥……………………………………11分
又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k,使f(k)∈(0,)……………………12分
解法二:設(shè)f(k)= ak-bk=k2-K+7-8.…………………………8分
f(k+1)-f(k)
=[(k+1)2-(k+1)+7-8.]-[k2-K+7-8.]
=k-3+22-k
當(dāng)k≥4時,f(k+1)-f(k)>0,f(k)為k的增函數(shù),……………………10分
以下同解法一。
19.解:設(shè)樓高為n層,總費用為y元,則征地面積為,征地費用為元………………2分
樓層建筑費用為{445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+[445+30×(n-2)]}.
=(15n++400)A……………………………………6分
從而y=+15Na++400A…………………………8分
y=(15n++400)A≥1000A(元)………………………………10分
當(dāng)且僅當(dāng)15n=,n=20(層)時,總費用y最少。
故當(dāng)這幢宿舍檔的樓高層數(shù)為20層時總費用最少,最少總費用為1000A元?!?2分
20.解:(I)由已知 解之得: ………………………3分
∴橢圓的方程為=1,雙曲線的方程
又C= ∴雙曲線的離心率e2=………………………6分
(Ⅱ)由(I)A(-5,0),B(5,0)。設(shè)M(x)則由得M為AP
的中點
∴P點坐標(biāo)淡(2x)將M、P坐標(biāo)代入c1、c2方程得 消去y0得2x+5x-25=0解之得x0=或x0= -5(舍) 由此可得P(10,3)當(dāng)P為
(10,3)時,PB:y=
代入 得:2x2-15x+25=0 x=或x=5(舍)
∴xN= ∴xN= xM MN⊥x軸 即………………………(12分)
21.(I)證明:f(x)+2+f(2a-x)=
=∴結(jié)論成立………………………3分
(Ⅱ)證明:f(x) =………………………………4分
當(dāng)a+≤x≤a+1時,-a-1≤-x≤-a-,-1≤a-x≤-,-2≤
則-3≤-1+≤-2,即f(x)值域為[-3,-2]…………………7分
(Ⅲ)解:g(x)=x2+|x+1-a|(x≠a)=……………8分
(1) 當(dāng)x≥a-1且x≠a時,g(x)=x2+x+1-a=(x+)2+
如果a-1=-即a≧時,則函數(shù)在[a-1,a]和(a,+)上單調(diào)調(diào)遞增
g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
如果a-1<-即a<且a≠-時,g(x)min=g(-)=-a
當(dāng)a=-時,g(x)最小值不存在………………………………………………10分
(2)當(dāng)x<a-1時g(x)=x2-x-1+a=(x-)2+a-
如果a-1>即a>時,g(x)min=g()=a-
如果a-1≤即a≤時g(x)在(-,a-1)上是減函數(shù),g(x)>g(a-1)=
(a-1)2……………………………………………………………………………12分
當(dāng)a>時(a-1)2-(a-)=(a-)2>0,即(a-1)2>(a-)
當(dāng)a<且a≠-時,(a-1)2-(-a)=(a-)2>0,即(a-1)2>( -a)……………………………………………………………………………………13分
綜合得:
a<且≠-是g(x)最小值是-a
當(dāng)≤a≤時 g(x)最小值是(a-1)2
當(dāng)a>時 g(x)最小值為a-
當(dāng)a=-時 g(x)最小值不存在…………………………………………………14分