1.若集合M={y|y=x-2},P={y|y=},那么M∩P=
A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞)
2.設3a=4,3b=12,3c=36,那么數(shù)列a,b,c
A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列
C.既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列
3.種植兩株不同的花卉,它們的存活率分別為p和q,則恰有一株存活的概率為
A.p+q-2p q B.p+q-pq C. p+q D. pq
4.函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的圖像關于原點對稱的充要條件是
A.φ=2kπ-,k∈Z B.φ=kπ-,k∈Z
C.φ=2kπ-,k∈Z D.φ=kπ-,k∈Z
5.將棱長為3的正四面體的各棱長三等份,經過分點將原正四面體各頂點附近均截去一個棱長為1的小正四面體,則剩下的多面體的棱數(shù)E為
A.16 B.17 C.18 D.19
6.設f(x)= x2+ax+b,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,則點(a,b)在aOb平面上的區(qū)域的面積是
A. B.1 C.2 D.
7.已知向量=(2,1), =(1,7), =(5,1),設X是直線OP上的一點(O為坐標原點),那么的最小值是
A.-16 B.-8 C.0 D.4
8.直線 + =1與橢圓 + =1相交于A、B兩點,橢圓上的點P使△PAB的面積等于12.這樣的點P共有
A.1個 B.2個 C 3個 D.4個
9.函數(shù)y=f(x)與y=g(x)有相同的定義域,且都不是常數(shù)函數(shù),對定義域中任何x,有f(x)+f(-x)=0,g(x).g(-x)=1,且當x≠0時,g(x) ≠1,則=+
A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
10.當x∈[0,2]時,函數(shù)f(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2時取得最大值,則a的取值范圍是
A.[-,+∞] B.[0,+∞] C.[1, +∞] D.[,+∞]
11.設雙曲線的右準線與兩條漸近線交于A、B兩點,右焦點為F,且FA⊥FB,則雙曲線的離心率為( ).
12.已知一個球的半徑為1,若使其表面積增加到原來的2倍,則表面積增加后球的體積是______________.
13.函數(shù)的單調遞減區(qū)間是______________.
14.已知、是實數(shù),給出下列四個論斷:(1),(2),(3),,(4).以其中的兩個論斷為條件,其余兩個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題:________.
15.一天內的不同的時刻,經理把文件交由秘書打字。每次都將文件堆放在秘書的文件堆的上面,秘書有時間就將文件最上面的那份文件取來打字。若有5份文件,且經理是按1,2,3,4,5的順序交來的,在下列的順序①12345,②32415,③24351,④54321,⑤45231中,秘書打字的可能順序是________(只要填上序號).
16.(本題共12分,第①小題4分,第②小題4分,第③小題4分)
已知f(x)=2sin(x+)cos (x+)+2cos2(x+)-
①求f(x)的最小正周期
②若0≤≤求使f(x)為偶函數(shù)的的值。
③在②條件下,求滿足f(x)=1, x∈[-]的x的集合。
17.(本題12分。第①題5分,第②題7分)
如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1=AB,點E、M分別為A1B,C1C的中點,過A1、B、M三點的平面A1BMN交C1D1于點N。
①求證:EM∥A1B1C1D1
②求二面角B-A1N-B1正切值。
18、(本題共14分)
設數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且數(shù)列{an+1-an}(n∈N*)是等差數(shù)列,數(shù)列{bn-2} (n∈N*)是等比數(shù)列。
(1)設Cn=an+1-an,求數(shù)列{Cn}的通項公式
(2)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式。
(3) 是否存在k∈N*,使得ak-bk∈(0,)?若存在,求出k;若不存在,請說明理由。
19.(本題14分)某學校為了解決教職工的住房問題,計劃征用一塊土地蓋一幢總面積為A(m2)的宿舍樓。已知土地的征用費為2388元/m2,且每層的建筑面積相同,土地的征用面積為第一層的2.5倍。經工程技術人員核算,第一、二層的建筑費用相同,都為445元/m2,以后每增高一層,其建筑費用就增加30元/m2。試設計這幢宿舍樓的樓高層數(shù),使總費用最少,并求出其最少費用。(總費用為建筑費用與征地費用之和。)
20.(本題14分。第(1)題7分,第(2)題7分)
已知橢圓C1:=1(a>b>0)的一條準線方程為。其左、右頂點分別是A、B;雙曲線C2:=1的一條漸近線方程為3x-5y=0。
(1)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率。
(2)在第一象限內,取雙曲線C2上的一點P,連結AP交橢圓C1于點M,連結PB并延長交橢圓C1于點N,若AM=MP,求證:MN.AB=0
21.(本題共14分,第(1)題3分,第(2)題4分,第(3)題7分)
已知函數(shù)f(x)=(a∈R且x≠a)
(1)求證:f(x)+2+f(2a-x)=0對定義域內的所有x都成立
(2)當f(x)的定義域為[a+,a+1]時,求f(x)的值域。
(3)設函數(shù)g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值。
高考數(shù)學模擬考試題(理科卷3) 時量120分鐘 總分150分參考答案
參考答案
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.
1.C. 2.A 3.A 4.D 5.C 6. B
7.B 8.B 9.B 10.D
二、
11. 12. 13.[-1,3](填(-1,3)也算對)
14.①③②④由①知與同號,故②成立;再由③得故④成立
15.①②③④
三、解答題(本大題共6題80分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
16.解:①f(x)=sin(2x+)+[2cos2 (x+-1)]
=sin (2x+)+cos (2x+)=2cos (2x+-)…………………(3分)
(或f(x)=2sin(2x++))
∴f(x)的最小正周期為…………………………………………4分
②f(-x)=cos (-2x+-)=cos[2x-(-)]=cos2xcos (-)+sin2xsin(-)
f(x)=cos(2x+(-)=cos2xcos(-)-sin2xsin(-)……………………(6分)
∵f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x)即sin2xsin(-)=0,∴sin(-)=0
∵0≤≤,-≤-≤,∴(-)=0,=………………………(8分)
③由f(x)=1得2cos2x=1,∴cos2x=………………………………(10分)
∵x∈[,],∴x=±或x=±
所以x的集合是{-,,-,}…………………………(12分)
17.解:(I)證明:取A1B1的中點F,連EF,C1F
|
|
∴四邊形EFC1M為平行四邊形
∴EM∥FC1……………………4分
而EM平面A1B1C1D1,F(xiàn)C1平面A1B1C1D1
∴EM∥平面A1B1C1D1……………………5分
(II)由(I)EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N∥EM∥FC1
∴N為C1D1中點
過B1作B1H⊥A1N于H,連BH,根據(jù)三垂線定理BH⊥A1N
∴∠BHB1即為二面角B-A1N-B1的平面角…………………8分
設AA1=a,則AB=2a,∵A1B1C1D1為正方形
∴A1N=a,又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H=
在Rt△BB1H,tan∠BHB1===
即二面角B-A1N-B1的正切值為……………………………………12分
(B)(I)建立如圖所示空間直角坐標系,設AB=2a,AA1=a(a >0),則
A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a)………………2分
∵E為A1B的中點,M為CC1的中點 ∴E(2a,a,),M(0,2a,)
∴EM∥平面A1B1C1D1……………………………………5分
(II)設平面A1BM的法向量為n=(x,y,z)
又A1B=(0,2a,-a) BM=(-2a,0,)
|
2ay-az=0
,∴
-2ax+=0
∴取n=()………………………………9分
而平面A1B1C1D1的法向量n1=(0,0,1),設二面角為,則
又:二面角為銳二面角 ∴cos=,……………11分
從而tan=………………………………………………………………12分
18、解:(I)由已知a2-a1=-2,a3-a2=-1,則{Cn}的公差為1………………1分
∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1)=n-3,即Cn=n-3……………………3分
(II)n≥2時,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6=
當n=1也適合上式,∴an=(n∈N*)………………………………5分
又b1-2=4、b2-2=2。而 ∴bn-2=(b1-2).
即bn=2+
∴數(shù)列{an}、{bn}的通項公式為:an=,bn=2+…………7分
(III)
解法一:設f(k)=ak-bk=k2-K+7-8.=(k-)2+-8.……9分
當k≥4時(k-)2+為k的增函數(shù),-8.也為k的增函數(shù),
∴當k≥4時f(k)=ak-bk為k的增函數(shù)………………………………10分
而f(4)= ,∴當k≥4時ak-bk≥……………………………………11分
又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k,使f(k)∈(0,)……………………12分
解法二:設f(k)= ak-bk=k2-K+7-8.…………………………8分
f(k+1)-f(k)
=[(k+1)2-(k+1)+7-8.]-[k2-K+7-8.]
=k-3+22-k
當k≥4時,f(k+1)-f(k)>0,f(k)為k的增函數(shù),……………………10分
以下同解法一。
19.解:設樓高為n層,總費用為y元,則征地面積為,征地費用為元………………2分
樓層建筑費用為{445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+[445+30×(n-2)]}.
=(15n++400)A……………………………………6分
從而y=+15Na++400A…………………………8分
y=(15n++400)A≥1000A(元)………………………………10分
當且僅當15n=,n=20(層)時,總費用y最少。
故當這幢宿舍檔的樓高層數(shù)為20層時總費用最少,最少總費用為1000A元。……12分
20.解:(I)由已知 解之得: ………………………3分
∴橢圓的方程為=1,雙曲線的方程
又C= ∴雙曲線的離心率e2=………………………6分
(Ⅱ)由(I)A(-5,0),B(5,0)。設M(x)則由得M為AP
的中點
∴P點坐標淡(2x)將M、P坐標代入c1、c2方程得 消去y0得2x+5x-25=0解之得x0=或x0= -5(舍) 由此可得P(10,3)當P為
(10,3)時,PB:y=
代入 得:2x2-15x+25=0 x=或x=5(舍)
∴xN= ∴xN= xM MN⊥x軸 即………………………(12分)
21.(I)證明:f(x)+2+f(2a-x)=
=∴結論成立………………………3分
(Ⅱ)證明:f(x) =………………………………4分
當a+≤x≤a+1時,-a-1≤-x≤-a-,-1≤a-x≤-,-2≤
則-3≤-1+≤-2,即f(x)值域為[-3,-2]…………………7分
(Ⅲ)解:g(x)=x2+|x+1-a|(x≠a)=……………8分
(1) 當x≥a-1且x≠a時,g(x)=x2+x+1-a=(x+)2+
如果a-1=-即a≧時,則函數(shù)在[a-1,a]和(a,+)上單調調遞增
g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
如果a-1<-即a<且a≠-時,g(x)min=g(-)=-a
當a=-時,g(x)最小值不存在………………………………………………10分
(2)當x<a-1時g(x)=x2-x-1+a=(x-)2+a-
如果a-1>即a>時,g(x)min=g()=a-
如果a-1≤即a≤時g(x)在(-,a-1)上是減函數(shù),g(x)>g(a-1)=
(a-1)2……………………………………………………………………………12分
當a>時(a-1)2-(a-)=(a-)2>0,即(a-1)2>(a-)
當a<且a≠-時,(a-1)2-(-a)=(a-)2>0,即(a-1)2>( -a)……………………………………………………………………………………13分
綜合得:
a<且≠-是g(x)最小值是-a
當≤a≤時 g(x)最小值是(a-1)2
當a>時 g(x)最小值為a-
當a=-時 g(x)最小值不存在…………………………………………………14分