題目所在試卷參考答案：

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．

1．C．　　　 2．A　　　　　 3．A　　 　　　4．D　　　　　 5．C　　　　　 6． B　

7．B　　　　　 8．B　　　　　 9．B　　　　　 10．D　　

二、

11.　12．　　13．[-1，3](填(-1，3)也算對)

14．①③②④由①知與同號，故②成立；再由③得故④成立

15．①②③④

三、解答題(本大題共6題80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16．解：①f(x)=sin(2x+)+[2cos² (x+－1)]

=sin (2x+)+cos (2x+)=2cos (2x+－)…………………(3分)

(或f(x)=2sin(2x++))

∴f(x)的最小正周期為…………………………………………4分

②f(－x)=cos (－2x+－)=cos[2x－(－)]=cos2xcos (－)+sin2xsin(－)

f(x)=cos(2x+(－)=cos2xcos(－)－sin2xsin(－)……………………(6分)

∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)=f(－x)即sin2xsin(－)=0，∴sin(－)=0

∵0≤≤，－≤－≤，∴(－)=0，=………………………(8分)

③由f(x)=1得2cos2x=1，∴cos2x=………………………………(10分)

∵x∈[，]，∴x=±或x=±

所以x的集合是{－，，－，}…………………………(12分)

17．解：(I)證明：取A₁B₁的中點F，連EF，C₁F

==

∵E為A1B中點，∴EF∥　 BB₁………………………………2分

==

又∵M為CC₁中點　　　 ∴EF∥　 C₁M

∴四邊形EFC₁M為平行四邊形

∴EM∥FC₁……………………4分

而EM平面A₁B₁C₁D₁，F(xiàn)C₁平面A₁B₁C₁D₁

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁……………………5分

(II)由(I)EM∥平面A₁B₁C₁D₁　 EM平面A₁BMN

平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N　　　 ∴A₁N∥EM∥FC₁

∴N為C₁D₁中點

過B₁作B₁H⊥A₁N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理BH⊥A₁N

∴∠BHB₁即為二面角B-A₁N-B₁的平面角…………………8分

設AA₁=a，則AB=2a，∵A₁B₁C₁D₁為正方形

∴A₁N=a，又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁　　 ∴B₁H=

在Rt△BB₁H，tan∠BHB₁===

即二面角B-A₁N-B₁的正切值為……………………………………12分

(B)(I)建立如圖所示空間直角坐標系，設AB=2a，AA₁=a(a >0)，則

A₁(2a，0，a)，B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，C₁(0，2a，a)………………2分

∵E為A₁B的中點，M為CC₁的中點　 ∴E(2a，a，)，M(0，2a，)

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁……………………………………5分

(II)設平面A₁BM的法向量為n=(x，y，z)

又A₁B=(0，2a，－a)　　　 BM=(－2a，0，)

由n⊥A₁B，n⊥BM，得

　2ay－az=0

　　　　　　　　　　　　　　 ，∴

?。?ax+=0

∴取n=()………………………………9分

而平面A₁B₁C₁D₁的法向量n₁=(0，0，1)，設二面角為，則

又：二面角為銳二面角　　　 ∴cos=，……………11分

從而tan=………………………………………………………………12分

18、解：(I)由已知a₂－a₁=－2，a₃－a₂=－1，則{C_n}的公差為1………………1分

∴a_n+1－a_n=(a₂－a₁)+(n－1)=n－3，即C_n=n－3……………………3分

(II)n≥2時，a_n=(a_n－a_n－1)+(a_n－1－a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁

　　　　　　 =(n－4)+(n－5)+…+(－1)+(－2)+6=

當n=1也適合上式，∴a_n=(n∈N*)………………………………5分

又b₁－2=4、b₂－2=2。而　　 ∴b_n－2=(b₁－2).

即b_n=2+

∴數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式為：a_n=，b_n=2+…………7分

(III)

解法一：設f(k)=a_k－b_k=k²－K+7－8.=(k－)²+－8.……9分

當k≥4時(k－)²+為k的增函數(shù)，－8.也為k的增函數(shù)，

∴當k≥4時f(k)=a_k－b_k為k的增函數(shù)………………………………10分

而f(4)= ，∴當k≥4時a_k－b_k≥……………………………………11分

又f(1)=f(2)=f(3)=0　　　　 ∴不存在k，使f(k)∈(0，)……………………12分

解法二：設f(k)= a_k－b_k=k²－K+7－8.…………………………8分

f(k+1)－f(k)

=[(k+1)²－(k+1)+7－8.]－[k²－K+7－8.]

=k－3+2²－k

當k≥4時，f(k+1)－f(k)>0，f(k)為k的增函數(shù)，……………………10分

以下同解法一。

19．解：設樓高為n層，總費用為y元，則征地面積為，征地費用為元………………2分

樓層建筑費用為{445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+[445+30×(n－2)]}.

=(15n++400)A……………………………………6分

從而y=+15Na++400A…………………………8分

y=(15n++400)A≥1000A(元)………………………………10分

當且僅當15n=，n=20(層)時，總費用y最少。

故當這幢宿舍檔的樓高層數(shù)為20層時總費用最少，最少總費用為1000A元?！?2分

20．解：(I)由已知　　　　　　　　　 解之得：　 ………………………3分

∴橢圓的方程為=1，雙曲線的方程

又C=　　 ∴雙曲線的離心率e₂=………………………6分

(Ⅱ)由(I)A(－5，0)，B(5，0)。設M(x)則由得M為AP

的中點

∴P點坐標淡(2x)將M、P坐標代入c₁、c₂方程得　 消去y₀得2x+5x-25=0解之得x₀=或x₀= -5(舍)　 由此可得P(10，3)當P為

(10，3)時，PB：y=

代入　　　 得：2x²－15x+25=0　　　　 x=或x=5(舍)

∴x_N=　　　　　 ∴x_N=　x_M　　　　 MN⊥x軸　　　　 即………………………(12分)

21．(I)證明：f(x)+2+f(2a－x)=

=∴結論成立………………………3分

(Ⅱ)證明：f(x) =………………………………4分

當a+≤x≤a+1時，－a-1≤-x≤-a-,-1≤a-x≤-,-2≤

則－3≤－1+≤－2，即f(x)值域為[－3，－2]…………………7分

(Ⅲ)解：g(x)=x²+|x+1－a|(x≠a)=……………8分

(1)　　 當x≥a－1且x≠a時，g(x)=x²+x+1－a=(x+)²+

如果a－1=－即a≧時，則函數(shù)在[a－1,a]和(a,+)上單調調遞增

g(x)_min=g(a－1)=(a－1)²

如果a－1<－即a<且a≠－時，g(x)_min=g(－)=－a

當a=－時，g(x)最小值不存在………………………………………………10分

(2)當x<a－1時g(x)=x²-x－1+a=(x－)²+a－

如果a－1>即a>時，g(x)_min=g()=a－

如果a－1≤即a≤時g(x)在(－,a－1)上是減函數(shù)，g(x)>g(a－1)=

(a－1)²……………………………………………………………………………12分

當a>時(a－1)²－(a－)=(a－)²>0,即(a－1)²>(a-)

當a<且a≠－時，(a－1)²－(－a)=(a－)²>0,即(a－1)²>( －a)……………………………………………………………………………………13分

綜合得：

a<且≠－是g(x)最小值是－a

當≤a≤時　 g(x)最小值是(a－1)²

當a>時　　 g(x)最小值為a－

當a=－時　　 g(x)最小值不存在…………………………………………………14分