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22.(本小題滿分14分)
橢圓的中心是原點O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點F(c,0)()的準線與軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若,求直線PQ的方程;
(3)設(shè)(),過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M,證明。
江蘇省姜堰高級中學2007屆第十次綜合考試數(shù)學試卷答案07。03。18
一、選擇題
CDBBA BBCCA
二、填空題
11. 12.2 13. 14.或
15. 16.②④⑤
三、解答題
17.解:(I)∵ (2分)
∴, (4分)
∵,∴
∴,∴?! ?(6分)
(II)∵,
, (8分)
∴, (10分)
∵,∴,∴,
∴?! ?(12分)
18.解:(Ⅰ) 直線方程為,設(shè)點, (2分)
由 (4分)
及,得,
∴點的坐標為 (6分)
(Ⅱ)由得, (9分)
設(shè),則,得, (12分)
此時,,∴ ?! ? (14分)
(注:缺少扣1分,這個不等式可解可不解。)
19.證明:(Ⅰ)證明 因為底面ABCD是菱形, ∠ABC=60º,
所以AB=AD=AC=?! ? (2分)
在△PAB中,由, 知PA⊥AB。 (5分)
同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD?! ? (7分)
(II)當點F是棱PE的中點時,有BF∥平面AEC。(8分)
取PE的中點F,連結(jié)AF,∵::,
∴E為DF的中點?! ?(10分)
連結(jié)BD,交AC于O,連結(jié)OE,則有OE∥BF。(12分)
又OE平面AEC,BF∥平面AEC,
故BF∥平面AEC?! ?(14分)
(若從平行探索到F為中點而沒有給出證明,扣2分。)
20.(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為。
由已知得
解得 (2分)
所以橢圓的方程為,離心率。 (4分)
(2)解:由(1)可得A(3,0)。
設(shè)直線PQ的方程為。由方程組
得 (5分)
依題意,得?! ?(6分)
設(shè),則
, ①
?! ?②
由直線PQ的方程得。于是
。 ③
∵,∴?! ?④ (7分)
由①②③④得,從而?! ?(8分)
所以直線PQ的方程為或?! ?(9分)
(3)證明:。由已知得方程組
(10分)
注意,解得 (12分)
因,故
,而,
所以?! ?(14分)
21.解:(1)∵的橫坐標構(gòu)成以為首項,為公差的等差數(shù)列,
∴, (2分)
∵位于函數(shù)的圖像上,
∴, (3分)
∴點的坐標為?! ?(4分)
(2)據(jù)題意可設(shè)拋物線的方程為:,
即, (5分)
∵拋物線過點,
∴,
∴,∴, (6分)
∵過點且與拋物線只有一個交點的直線即為以為切點的切線,
∴, (7分)
∴()
∴
∴?! ?(10分)
(3)∵,
∴中的元素即為兩個等差數(shù)列與中的公共項,它們組成以為首項,以為公差的等差數(shù)列, (11分)
∵,且成等差數(shù)列,是中的最大數(shù),
∴,其公差為,
10當時,,
此時,∴不滿足題意,舍去;(14分)
20當時,,
此時,
∴;
30當時,,
此時,∴不滿足題意,舍去。(16分)
綜上所述所求通項為?! ?(16分)