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21、(本題滿分12分)
在m(m≥2)個(gè)不同數(shù)的排列…中,若1≤i<j≤m時(shí), Pi>Pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù)),則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an,例如排列21的逆序數(shù),排列321的逆序數(shù),排列4321的逆序數(shù)。
(1)求a4、a5,并寫出an的表達(dá)式;
(2)令,證明:,n=1,2,….
參考答案:
一、選擇題(本大題共2小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
題號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
答案 |
A |
B |
C |
B |
A |
D |
B |
A |
B |
B |
D |
B |
簡(jiǎn)答與提示
1、
2、或,;
3、是平行四邊形,;
4、 ;
5、A、B、C三點(diǎn)共線;
6、面積比是相似比的平方,體積比是相似比的立方;
7、根據(jù)對(duì)稱性;
8、①函數(shù)是偶函數(shù),②函數(shù)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,③當(dāng)時(shí),;
9、根據(jù)線線、線面、面面平行和垂直的有關(guān)判定逐個(gè)判斷即可;
10、依題意:;
11、以正方體ABCD-A′B′C′D′的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可作(個(gè))三角形,正方體
的表面及對(duì)角面每個(gè)面有=4(個(gè))三角形,所以所求概率為;
12、橢圓+=1中,,所以(|PnF|)min=(|PnF|)max=
所以.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在橫線上。)
13、16 14、(-1,1)和(2,+∞)
15、24 16、④
簡(jiǎn)答與提示:
13、一個(gè)田徑隊(duì),有男運(yùn)動(dòng)員56人,女運(yùn)動(dòng)員42人,比賽后,立即用分層抽樣的方法,從
全體隊(duì)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本進(jìn)行尿樣興奮劑檢查,其中男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽 人.
14、解:由f(x)的解析式可知f(x)圖象連續(xù)及f(x)的單調(diào)性可確定,
在(-1,1)和(2,+∞)上均有f(x)>0.
15、設(shè){an}公差為d,則后取四個(gè)數(shù)的公差或或,它們分別有14、
8、2種取法,所以共有24個(gè)
16、當(dāng)=0,①不對(duì);若+=0,點(diǎn)、在直線上或在直線的異側(cè),所以
②③錯(cuò);
三、解答題
17、(本題滿分12分)
解:① ,,,
②
解一、,,,又,
, ?!?
解二、,,,,
,,?!?
18、(1) …………………4分
(2)t=2甲、乙兩人可以相遇(如圖,在C、D、E三處相遇) …………………5分
|
PC= …………………7分
PD= …………………9分
PE= ……………………11分
PC+PD+PE=即所求的概率為?!?……12分
19、(本小題滿分12分)
解:∵f(x)=(x +1), f()= 17+12, ∴n= 4 ………………………2分
又∵, ∴m= 4, ∴F(x)=(x+1)-(x+a) …………4分
(1)當(dāng)a =-1時(shí),F(xiàn)(x)=(x +1)-(x +a)=8x+8x ………………………6分
(2)∵
∵F(x)=12(1-a)x+12(1-a)x +4(1-a) ………………………8分
△=[12(1-a)]-4.12(1-a).4(1-a)
=-48(1-a)< 0 (a≠1)
Ⅰ)當(dāng)1-a >0時(shí),,F(x)為增函數(shù).∵x∈[0,1]
∴F(1)=-65 ∴2 -(1+a)=-65
∴1+a=±3 ∴a =-4 a=2(舍去)
Ⅱ) 當(dāng)1-a <0時(shí),,F(x)為減函數(shù).
∴F(0)=-65 ∴1 -a=-65 ∴a = a =-(舍去)
綜上:a =或a =-4 ……………………………………………………………12分
20、(本題滿分12分)
解:⑴解法一:如圖1,證明0M=0N=MN=AB=BC=AC,從而∠MON=
∴點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為.
解法二:如圖2,補(bǔ)形易證:∠EOF=∠GOH =.
解法三:其實(shí),易證:∠EOF=.
解法四:如圖3,建立空間直角坐標(biāo)系,易知E(,0, )、F(0,, )
∴,從而∠EOF =. …………………6分
⑵ 解法一:如圖1,取BC中點(diǎn)P,連接AP交MN與Q,則易證,∠POQ就是所求二面角的平面角。
在三角形OPQ中,OP=,PQ=OQ=AP=,可解得cos∠POQ=,
∴∠POQ=arcos(=arctan). ……………………………12分
解法二:如圖2,補(bǔ)形成正方體去解決.
解法三:如圖3,建立空間直角坐標(biāo)系去求解。
21.(本小題共12分)
解:
(1)由已知得,.
………………………………………6分
(2)因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383944_1/image148.gif">,
所以:. ………………………………………8分
又因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383944_1/image150.gif">,
所以:
=. ………………………………………11分
綜上,. ……………………………12分
22.解:⑴ 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)則由,
得,及
由 得 …………………3分
∴,由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上得
∴M點(diǎn)軌跡G方程:() ……………………5分
⑵ 設(shè)直線,其中 代入
得 (1) ……………………6分
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程(1)的兩個(gè)實(shí)數(shù)
∴ ∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為
AB的垂直平分線為:, ……………………8分
令, ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383944_1/image170.gif">為正三角形
∴到直線AB的距離等于 …………………10分
∴ ……12分
∴. …………………………………………14分
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